零测集

数学分析中,零测集(英语:Null set)是一个测度为0的可测集,它可以被可数个测度为任意小的开区间的并集覆盖集合

谢尔宾斯基三角形是由中的点构成的的零测集

零测集的概念不应与集合论中定义的空集混淆。空集的勒贝格测度为0,但也存在非空集的测度为0。例如,任何非空的可数实数集的勒贝格测度为零,因此它为零测集。

更一般的,给定测度空间,零测集满足

例子

实数的有限或可数无限子集都是零测集。例如自然数集合和有理数集合都是实数集的可数无限子集,因此它们是零测集。

康托尔集是一个不可数的零测集。

定义

 是实数集 的子集,满足

 

其中 表示区间, 是区间 的长度,则 是零测集。[1]

在数学分析的术语中,这个定义要求存在 的开覆盖序列,该序列覆盖长度的极限收敛到0。

性质

  • 空集总是零测集。
  • 可数个零测集的并集是零测集。
  • 零测集的任何一个可测子集是零测集。

应用

零测集在勒贝格积分的定义中起到了关键作用。如果函数f和函数g除一个零测集以外处处相等,则f可积当且仅当g可积,并且二者的积分相等。这使Lp空间定义为除零测集外均为同一类函数的集合。

参考文献

  1. ^ Franks, John. A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration. The Student Mathematical Library 48. American Mathematical Society. 2009: 28. ISBN 978-0-8218-4862-3. doi:10.1090/stml/048.