依赖选择公理

${\displaystyle (\,\Longrightarrow \,)}$ 

设${\displaystyle T}$ 是一棵位于${\displaystyle X}$ 上具有${\displaystyle \omega }$ 层的剪枝过的树，那么此处的策略是定义${\displaystyle T}$ 上的二元关系${\displaystyle R}$ ，而这关系使得${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ 导出${\displaystyle t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{f(n)}\rangle }$ 这样的序列，而在这序列中，${\displaystyle t_{n}R\,t_{n+1}}$ 且${\displaystyle f(n)}$ 是一个严格递增函数；而在这种状况下，无穷序列${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle }$ 是一个分支。（要证明这点，只需要对${\displaystyle f(n)=m+n.}$ 进行证明）我们先定义“若${\displaystyle u}$ 是${\displaystyle v}$ 的始序列（initial subsequence），且${\displaystyle \operatorname {length} (u)>0,\,}$ 且${\displaystyle \operatorname {length} (v)=}$  ${\displaystyle \operatorname {length} (u)+1.}$ ，则${\displaystyle u\,R\,v}$ ”开始，由于${\displaystyle T}$ 是一棵具有${\displaystyle \omega }$ 层的剪枝过的树枝故，所以${\displaystyle R}$ 是个完整关系；因此${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ 蕴含说存在有无限序列${\displaystyle t_{n}}$ 使得${\displaystyle t_{n}\,R\,t_{n+1}}$ ，因此对于一些${\displaystyle m\geq 0.}$ 而言，${\displaystyle t_{0}=\langle x_{0},\dots ,x_{m}\rangle }$ 。设${\displaystyle x_{m+n}}$ ${\displaystyle t_{n}.}$ 的最终元素，那么${\displaystyle t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{m},\dots ,x_{m+n}\rangle .}$ 。对于所有的${\displaystyle k\geq 0,}$ 而言${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k}\rangle }$ 这序列属于${\displaystyle T}$ 。由于这是${\displaystyle t_{0}\,(k\leq m)}$ 的的始序列，或者是一个${\displaystyle t_{n}\,(k\geq m)}$ 之故，因此${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle }$ 是一个分支。