贝尔性质
若一个拓朴空间的子集合有贝尔性质，或是一个几乎开集，就表示这集合与开集之间的差为一个贫乏集；换句话说，若存在一个开集合使得为贫乏集（此处的为对称差），那么就说有贝尔性质。[1]
定义
若一个拓朴空间 的子集合 是一个有贝尔性质的几乎开集，那就表示存在一个 使得 为贫乏集，此处的 为对称差；此外[1]若 有限制意义下的贝尔性质的话，就表示说对于任意 的子集合 而言， 跟 的交集 相对于 有贝尔性质。[2]
性质
有贝尔性质的集合构成集族为一个σ-代数，也就是说，几乎开集的补集也是几乎开集，且任何可数多个几乎开集的联集或交集也是几乎开集；[1]此外，由于空集合本身是贫乏集，因此所有的开集都是几乎开集之故，因此所有的博雷尔集都是几乎开集。
若一个波兰空间的子集合有贝尔性质，那么与其对应的巴拿赫－马祖尔游戏是决定的。此命题的逆命题一般不成立，然而若一个适当点类 中的所有游戏都是决定的，那 中的每个集合都有贝尔性质，也就是说根据由足够大的基数推导而出的射影决定性，波兰空间中所有的射影集都有贝尔性质。[3]
利用选择公理，可知一些实数的子集不具贝尔性质，一个没有贝尔性质的实数子集的具体的例子是维塔利集合。[4]实际上选择公理就已足以证明这点：根据布尔素理想定理，自然数集合上存在有一个非主理想超滤子，而每一个有如此性质的超滤子，都可在以二进制表示实数的状况下，用以导出一个没有贝尔性质的实数集。[5]
参见
参考资料
- ^ 1.0 1.1 1.2 Oxtoby, John C., 4. The Property of Baire, Measure and Category, Graduate Texts in Mathematics 2 2nd, Springer-Verlag: 19–21, 1980, ISBN 978-0-387-90508-2.
- ^ Kuratowski, Kazimierz, Topology. Vol. 1, Academic Press and Polish Scientific Publishers, 1966.
- ^ Becker, Howard; Kechris, Alexander S., The descriptive set theory of Polish group actions, London Mathematical Society Lecture Note Series 232, Cambridge University Press, Cambridge: 69, 1996, ISBN 0-521-57605-9, MR 1425877, doi:10.1017/CBO9780511735264.
- ^ Oxtoby (1980), p. 22.
- ^ Blass, Andreas, Ultrafilters and set theory, Ultrafilters across mathematics, Contemporary Mathematics 530, Providence, RI: American Mathematical Society: 49–71, 2010, MR 2757533, doi:10.1090/conm/530/10440，可见第64页的说明。