σ-代数

σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。

测度

测度是给${\displaystyle X}$ 的子集赋予非负实数值的函数；可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲，若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和，即使有无穷多个这样的不交集。

让 ${\displaystyle X}$  为非空集合，集合系 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  中的元素是 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$  的子集合，满足以下条件的集合系 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  称为 ${\displaystyle X}$  上的一个 σ-代数：^[1][2]

• ${\displaystyle X}$  是集合系 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  中的元素；
• 如果集合 ${\displaystyle A}$  在 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  中，那么它的补集 ${\displaystyle A^{c}}$ 也在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中；
• 如果有可数个集合 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots }$  都在 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  中，那么它们的并集也在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  中。

以上条件用数学语言来表示，就是：

${\displaystyle X}$  为一集合，假设有集合系 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ，其中 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$  代表 ${\displaystyle X}$  的幂集，若 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  满足下列条件

• ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}};}$ 
• ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}\;\Rightarrow \;A^{c}\in {\mathcal {F}};}$ 
• ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {F}},\;\forall n\in \mathbb {N} \;\Rightarrow \;\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {F}}.}$ 

则称集合系 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  是 ${\displaystyle X}$  的 σ-代数。

在测度论里 ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}\right)}$ 称为一个可测空间。 集合族 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  中的元素，也就是 ${\displaystyle X}$  的某子集，称为可测集合。而在概率论中，这些集合被称为随机事件。

例子

• 有两个σ-代数的简单例子，它们分别是：
  1. ${\displaystyle X}$ 上含集合最少的σ-代数${\displaystyle \{\emptyset ,X\}}$ ；
  2. ${\displaystyle X}$ 上含集合最多的σ-代数是${\displaystyle X}$ 的幂集${\displaystyle 2^{X}:=\{A:A\subset X\}}$ 。
• 假设集合${\displaystyle X=\{a,b,c,d\}}$ ，那么${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\varnothing ,\{a\},\{b,c,d\},X\}}$  是集合${\displaystyle X}$ 上的一个σ-代数。这也是所有包含${\displaystyle \{a\}}$ 的σ-代数中最“小”的一个。

σ-代数是一个代数也是一个λ系，它对集合的交集、并集、差集、可数交集、可数并集运算都是封闭的。