大基数

某个基数性质称为大基数性质有个必要条件：未知ZFC能证明不存在具有该种性质的基数，且已证明若ZFC相容，则ZFC与“不存在该种基数”也相容（即已证明ZFC（若相容）不能证出该种基数存在）。

值得注意，虽然乔尔·哈姆金斯（英语：Joel David Hamkins）称找到不能比较相容强度的大基数公理^[2]，仍有许多自然的大基数公理按相容强度（英语：Equiconsistency）组成全序。换言之，对于大基数公理${\displaystyle A_{1}}$ 和${\displaystyle A_{2}}$ ，通常恰有以下三者之一：

1. 除非ZFC不相容，否则${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}}$ 相容当且仅当${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}}$ 相容；
2. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}}$ 证明${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}}$ 相容；
3. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}}$ 证明${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}}$ 相容。

此三者互斥，除非所提及的理论其实不相容。

情况1，称${\displaystyle A_{1}}$ 与${\displaystyle A_{2}}$ 等相容（英语：Equiconsistency）。情况2，称${\displaystyle A_{1}}$ 在相容意义下强于${\displaystyle A_{2}}$ （情况3则反之）。若${\displaystyle A_{2}}$ 强于${\displaystyle A_{1}}$ ，则即使由${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}+{\mathsf {Cons}}({\mathsf {ZFC}}+A_{1})}$ ，也不能证明${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}}$ 相容（前提是${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}}$ 确实相容）。此为哥德尔第二不完备定理的推论。

由于未有大基数公理的准确定义（并有哈姆金斯的结果），以上观察无法成为定理。此外，对一些${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ ，仍未知三个情况何者为真。萨哈龙·谢拉赫（英语：Saharon Shelah）问：“是否有定理解释，抑或是我们的目光比所以为的更单一？”^[3]同样值得注意，许多组合命题恰与某个大基数等相容，而非介于两个大基数的等相容强度之间。

等相容强度的顺序，不必等于具有该性质的最小基数的大小顺序。例如，巨大基数（英语：huge cardinal）的存在性，在相容意义下远强于超紧基数（英语：supercompact cardinal）的存在性，但假设两者皆存在，则首个巨大基数小于首个超紧基数^[4]。

大基数可放在冯·诺伊曼全集${\displaystyle V}$ 理解。冯·诺伊曼全集是将幂集运算（将某集合的所有子集组成集合）超限迭代而得。无大基数的模型经常可视为有大基数的模型的子模型。例如，若有不可达基数，则在首个不可达基数${\displaystyle \kappa }$ 的高度将全集${\displaystyle V}$ 截断成${\displaystyle V_{\kappa }}$ ，便是无不可达基数的全集。又设有可测基数${\displaystyle \lambda }$ ，则迭代“可定义”幂集运算（而非完整的幂集运算），便得哥德尔可构全集（英语：Gödel's constructible universe）${\displaystyle L}$ ，其不认为存在可测基数，即使${\displaystyle L}$ 仍包含${\displaystyle \lambda }$ （作为序数）。

所以，一些加州学派（英语：Cabal (set theory)）集合论者认为，大基数公理“说明”正在考虑全部“应当”考虑的集合，而否定大基数公理，则“限制”只考虑一部分集合。更甚者，大基数公理的后果似乎可以找到一定规律（见麦迪〈相信公理之二〉^[5]）。因此，该些集合论者倾向认为，大基数公理是ZFC的较好的扩展，胜于其他较少明确动机的公理（如马丁公理），也胜于他们直观认为较不可能的公理（如可构公理（英语：可構公理））。此派中的实在论者视大基数定理为“真”。

当然上述观点并不普遍。一些形式论者会断言，标准集合论，按其定义，是研究ZFC有何后果。其未必反对研究其他系统有何后果，而仅觉得无理由偏好大基数公理。也有实在论者不以极大存在论（英语：ontological maximalism）（即认为可存在之事皆存在）为接受大基数公理的合适动机，甚至相信大基数公理为假。此外，还有人指出，否定大基数公理并非“限制”，因为例如，虽然哥德尔可构全集${\displaystyle L}$ 不认为存在可测基数，但${\displaystyle L}$ 中也可以有传递集合模型认为存在可测基数。

• 首个不可数序数
• ZFC系统无法确定的命题列表