大基数

集合论大基数性质超限基数可能具有的若干性质的统称。顾名思义,有某种大基数性质的基数(大基数)一般都很“大”(例如,比满足的最小的更大,其中的意义见阿列夫数)。大基数的存在性不能用最常见的ZFC集合论公理系统证明,所以,若需要大基数才能证明某些结论,则可用所需的大基数来衡量该结论“超出”ZFC的程度。其如达纳·斯科特所言,量化了“欲证更多,必先假设更多”。[1]

常见大基数类别有不可达基数拉姆齐基数英语Ramsey cardinal弱紧基数英语Weakly compact cardinal可测基数等,其中可测基数和拉姆齐基数都比弱紧基数强,而若假定选择公理,弱紧基数是不可达基数。

集合论界中有以下粗略约定:ZFC足以证明的结论叙述时不用列明前提“假设ZFC”,但若证明要求其他假设(例如存在某个大基数),则须列明。视乎哲学派别,或认为该约定仅是语言惯例,或认为其意义更重大(见研究动机和公理认受性一节)。

大基数公理是断言特定大基数存在的公理。例如,“存在3个不可达基数”便属大基数公理。

许多集合论者相信现时考虑的大基数公理皆与ZFC相容[来源请求]。该些公理足以推出ZFC相容,因此ZFC(若相容)无法证明该些公理与ZFC相容,否则ZFC将证明自身的相容性,与哥德尔第二不完备定理矛盾。

并无准确定义何种性质为大基数性质,但大基数性质列表英语list of large cardinal properties列举了若干较普遍接受的大基数性质。

部分定义

某个基数性质称为大基数性质有个必要条件:未知ZFC能证明不存在具有该种性质的基数,且已证明若ZFC相容,则ZFC与“不存在该种基数”也相容(即已证明ZFC(若相容)不能证出该种基数存在)。

相容强度层级

值得注意,虽然乔尔·哈姆金斯英语Joel David Hamkins称找到不能比较相容强度的大基数公理[2],仍有许多自然的大基数公理按相容强度英语Equiconsistency组成全序。换言之,对于大基数公理  ,通常恰有以下三者之一:

  1. 除非ZFC不相容,否则 相容当且仅当 相容;
  2.  证明 相容;
  3.  证明 相容。

此三者互斥,除非所提及的理论其实不相容。

情况1,称  等相容英语Equiconsistency。情况2,称 相容意义下强 (情况3则反之)。若 强于 ,则即使由 ,也不能证明 相容(前提是 确实相容)。此为哥德尔第二不完备定理的推论。

由于未有大基数公理的准确定义(并有哈姆金斯的结果),以上观察无法成为定理。此外,对一些 ,仍未知三个情况何者为真。萨哈龙·谢拉赫英语Saharon Shelah问:“是否有定理解释,抑或是我们的目光比所以为的更单一?”[3]同样值得注意,许多组合命题恰与某个大基数等相容,而非介于两个大基数的等相容强度之间。

等相容强度的顺序,不必等于具有该性质的最小基数的大小顺序。例如,巨大基数英语huge cardinal的存在性,在相容意义下远强于超紧基数英语supercompact cardinal的存在性,但假设两者皆存在,则首个巨大基数小于首个超紧基数[4]

研究动机和公理认受性

大基数可放在冯·诺伊曼全集 理解。冯·诺伊曼全集是将幂集运算(将某集合的所有子集组成集合)超限迭代而得。无大基数的模型经常可视为有大基数的模型的子模型。例如,若有不可达基数,则在首个不可达基数 的高度将全集 截断成 ,便是无不可达基数的全集。又设有可测基数 ,则迭代“可定义”幂集运算(而非完整的幂集运算),便得哥德尔可构全集英语Gödel's constructible universe ,其不认为存在可测基数,即使 仍包含 (作为序数)。

所以,一些加州学派英语Cabal (set theory)集合论者认为,大基数公理“说明”正在考虑全部“应当”考虑的集合,而否定大基数公理,则“限制”只考虑一部分集合。更甚者,大基数公理的后果似乎可以找到一定规律(见麦迪〈相信公理之二〉[5])。因此,该些集合论者倾向认为,大基数公理是ZFC的较好的扩展,胜于其他较少明确动机的公理(如马丁公理),也胜于他们直观认为较不可能的公理(如可构公理英语可構公理)。此派中的实在论者视大基数定理为“真”。

当然上述观点并不普遍。一些形式论者会断言,标准集合论,按其定义,是研究ZFC有何后果。其未必反对研究其他系统有何后果,而仅觉得无理由偏好大基数公理。也有实在论者不以极大存在论英语ontological maximalism(即认为可存在之事皆存在)为接受大基数公理的合适动机,甚至相信大基数公理为假。此外,还有人指出,否定大基数公理并非“限制”,因为例如,虽然哥德尔可构全集 不认为存在可测基数,但 中也可以有传递集合模型认为存在可测基数。

参见

参考资料

  1. ^ Bell, J.L. Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory [布尔值模型及集合论的独立性证明]. Oxford University Press. 1985. viii. ISBN 0-19-853241-5 (英语). 
  2. ^ Hamkins, Joel David. Nonlinearily in the hierarchy of large cardinal consistency strength [大基数的相容强度层级非线性] (PDF). 2021 [2021-08-20]. (原始内容存档 (PDF)于2021-08-20) (英语). 
  3. ^ Shelah, Saharon. The Future of Set Theory [集合论的未来]. 2002. arXiv:math/0211397v1  (英语). 
  4. ^ Morgenstern, Carl F. On the Ordering of Certain Large Cardinals [论某些大基数的次序]. The Journal of Symbolic Logic. 1979, 44 (4): 563–565. doi:10.2307/2273295 (英语). 
  5. ^ Maddy, Penelope. Believing the Axioms. II [相信公理之二] (PDF). The Journal of Symbolic Logic. 1988, 53 (3): 736–764 [2021-08-21]. doi:10.2307/2274569. (原始内容存档 (PDF)于2021-08-21) (英语).