无穷元组合学

设${\displaystyle \kappa ,\ \lambda }$ 为序数，${\displaystyle m}$ 为基数，${\displaystyle n}$ 为正整数。Erdős & Rado (1956)引入记号

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{n}}$ 

作为下列命题的速记：

若将${\displaystyle \kappa }$ 所有${\displaystyle n}$ 元子集的集合${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$ ，分划为${\displaystyle m}$ 份，则有一份包含序型为${\displaystyle \lambda }$ 的同质集。

所谓同质集，意思是${\displaystyle \kappa }$ 的子集，且其所有${\displaystyle n}$ 元子集皆在同一个分块中。也可以用染色的说法：

若有${\displaystyle m}$ 种色，并将${\displaystyle \kappa }$ 的每个${\displaystyle n}$ 元子集，各染一种色，则必有序型为${\displaystyle \lambda }$ 的同色集，即其所有${\displaystyle n}$ 元子集皆同色。

当${\displaystyle m}$ 为${\displaystyle 2}$ 时，可省略不写。

假设选择公理（AC），则不存在序数${\displaystyle \kappa }$ 使得${\displaystyle \kappa \rightarrow (\omega )^{\omega }}$ 。此即上段取${\displaystyle n}$ 有限的原因。虽然不允许${\displaystyle n}$ 为无穷大，但仍可以同时考虑任意大的${\displaystyle n}$ 。符号

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{<\omega }}$ 

表示命题“若将${\displaystyle \kappa }$ 的所有有限子集染成${\displaystyle m}$ 种色，则有序型为${\displaystyle \lambda }$ 的子集${\displaystyle X}$ ，使得其对每个${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle X}$ 的所有${\displaystyle n}$ 元子集皆同色。”（但不同的${\displaystyle n}$ 之间，无需同色。）同样，当${\displaystyle m}$ 为${\displaystyle 2}$ 时，可省略不写。

还有变式： ${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda ,\mu )^{n}}$  表示“若将${\displaystyle \kappa }$ 的所有${\displaystyle n}$ 元子集染成红、蓝两色，则或有序型为${\displaystyle \lambda }$ 的子集，其所有${\displaystyle n}$ 元子集皆为红，或有序型为${\displaystyle \mu }$ 的子集，其所有${\displaystyle n}$ 元子集皆为蓝。”

可以此记号表示的命题有：（下设${\displaystyle \kappa }$ 为基数）

${\displaystyle \aleph _{0}\rightarrow (\aleph _{0})_{k}^{n}}$ 对所有有限的${\displaystyle n,k}$ 成立（拉姆齐定理）。

${\displaystyle \beth _{n}^{+}\rightarrow (\aleph _{1})_{\aleph _{0}}^{n+1}}$ （艾狄胥－雷多定理（英语：Erdős–Rado theorem））。

${\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (\kappa ^{+})^{2}}$ （谢尔宾斯基定理）

${\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (3)_{\kappa }^{2}}$ 

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa ,\aleph _{0})^{2}}$  (艾狄胥－杜什尼克－米勒定理（英语：Erdős–Dushnik–Miller theorem））。

在无选择（choiceless，即选择公理不成立）的宇集中，上标为无穷的分划性质有可能成立。有部分是决定公理（AD）的推论，例如，当劳·马丁（英语：Donald A. Martin）证明，AD推出

${\displaystyle \aleph _{1}\rightarrow (\aleph _{1})_{2}^{\aleph _{1}}.}$ 

一些大基数性质是用拉姆齐性质定义，如：

• 弱紧基数（英语：Weakly compact cardinal）${\displaystyle \kappa }$ 满足${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{2}}$ ；
• α艾狄胥基数（英语：Erdős cardinal）${\displaystyle \kappa }$ 是满足${\displaystyle \kappa \rightarrow (\alpha )^{\omega }}$ 的最小基数；
• 拉姆齐基数（英语：Ramsey cardinal）${\displaystyle \kappa }$ 满足${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{\omega }}$ 。

• Dushnik, Ben; Miller, E. W., Partially ordered sets [偏序集], American Journal of Mathematics, 1941, 63 (3): 600–610, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371374, MR 0004862, doi:10.2307/2371374, hdl:10338.dmlcz/100377   （英语） 
• Erdős, Paul; Hajnal, András, Unsolved problems in set theory [集合论的未解问题], Axiomatic Set Theory ( Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967) [公理化集合论（加州大学，洛杉矶，加州，1967）], Proc. Sympos. Pure Math, XIII Part I, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc.: 17–48, 1971, MR 0280381 （英语） 
• Erdős, Paul; Hajnal, András; Máté, Attila; Rado, Richard, Combinatorial set theory: partition relations for cardinals [组合集合论：基数的分划关系], Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 106, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1984, ISBN 0-444-86157-2, MR 0795592 （英语） 
• Erdős, P.; Rado, R., A partition calculus in set theory [集合论的分划算数], Bull. Amer. Math. Soc., 1956, 62 (5): 427–489, MR 0081864, doi:10.1090/S0002-9904-1956-10036-0   （英语） 
• Kanamori, Akihiro. The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings [更高的无穷：从源流谈集合论的大基数] second. Springer. 2000. ISBN 3-540-00384-3 （英语）. 
• Kunen, Kenneth, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs [集合论：独立性证明导论], Amsterdam: North-Holland, 1980, ISBN 978-0-444-85401-8 （英语）