首个不可数序数

在数学中，首个不可数序数，传统记之为ω1（或有时为Ω），是一个最小的序数，而其于被考虑为集合时为不可数。它是所有可数序数的最小上界。ω1 的所有元素，皆为可数序数，纵使它们的数目共有不可数多个。

与任何序数相像（冯·诺伊曼的方法），ω1是一个良序集合，以集合从属性("∈")作为序的关系。ω1是一个极限序数，意即并不存在一个α使得α + 1 = ω1。

集合ω1的势，是第一个不可数基数——ℵ1阿列夫数1号。是故ω1乃是ℵ1的起始序数。而且，在大部分的构造中，ω1 与 ℵ1 是同一个集合（见冯·诺伊曼基数指派）。推而广之，若α为任意序数，我们定义ωα 为基数ℵα的起始序数。

ω1的存在性，可以在没有选择公理的情况下被证明（见哈特格斯数）。

拓扑性质

任一序数上都可定义序拓扑（即以开区间组成的集族为基的拓扑），故可视为一个拓扑空间。视 ω1 为拓扑空间时，通常记为 [0,ω1) ，以强调其为所有小于 ω1 的序数组成的空间。

[0,ω1) 中的每个递增 ω-序列都收敛到某个在 [0,ω1) 中的极限，因为由可数序数组成的可数集的并（亦即序列的上确界）也是个可数序数。

拓扑空间 [0,ω1) 是序列紧，但不是紧的。于是，无法将之度量化。不过，其为可数紧的（英语：countably compact space），故不是林德勒夫空间。由可数性公理观之， [0,ω1) 第一可数，但不可分，也不第二可数。

空间 [0,ω1] = ω1 + 1 是紧的，而不第一可数。通常用 ω1 来定义长直线，作为拓扑学上的重要反例。

参见

参考文献

  • Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).