可测基数

可测基数的正式定义如下。可测基数是不可数的基数 κ, 其幂集上存在一个 κ-可加的二值的非平凡测度。此处，κ-可加 意思是，对任意一列长度为 λ < κ 的集合 A_α (α<λ), 若 A_α 是 κ 的两两不交的子集（即其元素为小于 κ 的序数），则 A_α 的并的测度等于逐个 A_α 测度之和。而 二值 意思是仅取值为 0 或 1。

等价的说法是， κ 可测当且仅当其为从全类 V 射向传递类 M 的某个非平凡基本嵌入的临界点（英语：critical point (set theory)）。此项等价关系由杰尔姆·开斯勒（英语：Jerome Keisler）和达纳·斯科特证明，其用到模型论中的超积构造。由于 V 是真类，取超积时，需要考虑某些平时无须考虑的技术问题，但可用斯科特技巧（英语：Scott's trick）解决。

再换句话说，基数 κ 可测当且仅当其为不可数，且有 κ-完备的非主超滤子。此处 κ-完备意指，在超滤子中，取任意严格少于 κ 个集合，其交仍在超滤子中。

虽然从 ZFC 可得，每个可测基数皆为不可达（且为玄妙基数（英语：Ineffable cardinal）和拉姆齐基数（英语：Ramsey cardinal）），但命题“有可测基数是后继基数（英语：Successor cardinal）”与 ZF 相容。从 ZF+AD（决定公理）可得 ω₁ 可测，且 ω₁ 的每个子集必定包含某个闭无界集，或者与某个闭无界集不交。

乌拉姆证明了，若基数 κ 上有非平凡的可数可加二值测度，且 κ 是该些基数中最小的一个，则其上有 κ-可加的测度。（若有少于 κ 个零测集，其并集为 κ, 则此族子集上的导出测度是一个反例，其与 κ 的最小性矛盾。）由此，（利用选择公理）可以证明，此种基数中最小的一个必不可达。证明如下：

若 κ 有非平凡的 κ-可加测度，则 κ 必为正则基数（英语：regular cardinal）。（因为其为非平凡且 κ-可加，任何元素个数比 κ 少的集合的测度皆为 0, 于是，再次使用 κ-可加性，可知 κ 不能表示成少于 κ 个大小小于 κ 的集合的并。）若 λ < κ, 则不能有 κ ≤ 2^λ，原因是：若果然有 κ ≤ 2^λ, 则可以视 κ 为若干列长为 λ 的 0-1 序列的集合。对于序列的每个位置，考虑该位为 1 的序列组成的子集，和该位为 0 的序列组成的子集，两者之一的测度必为 1 。于是，得到 λ 个测度为 1 的子集，故其交集亦具有测度 1，但此交集仅得一个元素，即测度是平凡的，矛盾。所以，假定选择公理，就得知 κ 是强极限基数（英语：strong limit cardinal）。至此证毕 κ 为不可达基数。

若 κ 可测，p∈V_κ 且 M (V 的超幂) 满足 ψ(κ,p)，则令 V 满足 ψ(α,p) 的 α < κ 组成的集合是 κ 中的不动集（英语：stationary set）（同时测度亦为 1 ）。 特别地，若 ψ 是 Π₁ 式，且 V 满足 ψ(κ,p)， 则 M 亦满足该式，故对于某个不动集中的 α < κ，V 满足 ψ(α,p) 。此性质适用于证明 κ 是若干种（较可测基数弱的）大基数的极限。注意，见证 κ 可测的超滤子不能在 M 中，否则此种可测基数之中，最小的一个以下还有另一个，矛盾。

若从某个以 κ 为临界点（英语：critical point (set theory)） 的基本嵌入 j₁ （从 V 到 M₁）着手，则先定义 κ 上的超滤子 U 为 { S⊆κ : κ∈j₁(S) }。然后，取 V 在 U 上的超幂，可得另一个基本嵌入 j₂，其将 V 嵌入到 M₂。然而，记得 j₂ ≠ j₁，所以其他种类的大基数，例如强基数（英语：Strong cardinal），也可以同时可测，但并非利用同一个嵌入。可以证明，若强基数 κ 可测，则其下有 κ 多个可测基数。

每个可测基数 κ 皆为 0-巨基数（英语：huge cardinal），因为 ^κM⊆M，即每个由 κ 射到 M 的函数也在 M 中。所以 V_κ+1⊆M。

若基数 κ 的幂集上，有 κ-可加的概率测度，其于单元集的取值为零，则称 κ 为实值可测。实值可测基数由Stefan Banach （1930） 引入。Banach & Kuratowski (1929) 证明了连续统假设推出 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$  （连续统）并非实值可测。Stanislaw Ulam （1930） 证明（以下给出一部分）了实值可测基数皆为弱不可达（事实上，亦是弱马洛基数（英语：Mahlo cardinal））。所有可测基数皆为实值可测，而实值可测基数 κ 可测当且仅当 κ 大于 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ . 故一个基数可测当且仅当其既实值可测，又强不可达。小于或等于 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$  的实值可测基数存在当且仅当勒贝格测度具有扩展到任意实数集的可列可加扩展，亦当且仅当某个非空集的幂集上，存在一个无原子 (测度论)（英语：atom (measure theory)）的概率测度。

Solovay (1971) 证明了 ZFC 中可测基数的存在性，ZFC 中实值可测基数的存在性，与 ZF 中可测基数的存在性皆是等相容（英语：equiconsistency）的。

实值可测基数皆弱不可达

称基数 ${\displaystyle \alpha }$  为乌拉姆数若以下条件成立：^{[4][nb 1]}

若

1. ${\displaystyle \mu }$  是集合 ${\displaystyle X}$  上的外测度，
2. ${\displaystyle \mu (X)<\infty ,}$ 
3. ${\displaystyle \mu (\{x\})=0,\forall x\in X,}$ 
4. 所有 ${\displaystyle A\subset X}$  皆 μ-可测,

则

${\displaystyle \operatorname {card} X\leq \alpha \Rightarrow \mu (X)=0.}$ 

等价地，基数 ${\displaystyle \alpha }$  为乌拉姆数若以下条件成立：

若

1. ${\displaystyle \nu }$  为集合 ${\displaystyle Y}$  上的外测度，且 ${\displaystyle F}$  是 ${\displaystyle Y}$  的若干不交子集组成的族，
2. ${\displaystyle \nu \left(\bigcup F\right)<\infty ,}$ 
3. 对所有 ${\displaystyle A\in F,}$  ${\displaystyle \nu (A)=0.}$ 
4. 对所有 ${\displaystyle G\subset F,}$  ${\displaystyle \bigcup G}$  皆为 ν-可测，

则

${\displaystyle \operatorname {card} F\leq \alpha \Rightarrow \nu \left(\bigcup F\right)=0.}$ 

最小的无穷基数 ${\displaystyle \aleph _{0}}$  为乌拉姆数。全体乌拉姆数组成的类关于后继运算封闭（即若某基数为乌拉姆数，则其后继基数（英语：successor cardinal）亦为乌拉姆数。）^[5] 证明如下。设乌拉姆数 ${\displaystyle \alpha }$  的后继基数是无穷基数 ${\displaystyle \beta }$ , 又不妨只考虑取 ${\displaystyle X=\beta }$ . 设 ${\displaystyle \mu }$  满足条件 (1)–(4), 则只需证明 ${\displaystyle \mu (\beta )=0.}$  按序数的冯·诺伊曼定义，拣单射

${\displaystyle f_{x}:x\rightarrow \alpha ,\quad \forall x\in \beta ,}$ 

并定义集合

${\displaystyle U(b,a)=\{x\in \beta :f_{x}(b)=a\},\quad a\in \alpha ,b\in \beta .}$ 

因为 ${\displaystyle f_{x}}$  为单射，对于固定的 ${\displaystyle a}$ , 集族 ${\displaystyle \left\{U(b,a):b\in \beta \right\}}$  是不交族。此外，对于固定的 ${\displaystyle b}$ , 集族 ${\displaystyle \left\{U(b,a):a\in \alpha \right\}}$  亦是不交族。根据 ${\displaystyle \mu }$  的性质 (2), 集合 ${\displaystyle \left\{b\in \beta :\mu (U(b,a))>0\right\}}$  可数，故

${\displaystyle \operatorname {card} \left\{(b,a)\in \beta \times \alpha |\mu (U(b,a))>0\right\}\leq \aleph _{0}\cdot \alpha =\alpha .}$ 

所以，存在 ${\displaystyle b_{0}}$  使得

${\displaystyle \mu (U(b_{0},a))=0\quad \forall a\in \alpha ,}$ 

而由于 ${\displaystyle \alpha }$  是乌拉姆数，由第二定义（取 ${\displaystyle \nu =\mu }$ , 则条件 (1)–(4) 皆符合），可得

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a)\right)=0.}$ 

若 ${\displaystyle b_{0}<x<\beta ,}$  则 ${\displaystyle f_{x}(b_{0})=a_{x}\Rightarrow x\in U(b_{0},a_{x}).}$  所以

${\displaystyle \beta =b_{0}\cup \{b_{0}\}\cup \bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a),}$ 

由性质 (2), ${\displaystyle \mu \{b_{0}\}=0,}$  又因为 ${\displaystyle \operatorname {card} b_{0}\leq \alpha }$ , 由性质 (4), (2) 和 (3), 得到 ${\displaystyle \mu (b_{0})=0.}$  由此得到 ${\displaystyle \mu (\beta )=0.}$  至此证毕 ${\displaystyle \beta }$  为乌拉姆数。 类似可证^[6] 若 ${\displaystyle S}$  为乌拉姆数多个乌拉姆数组成的集合，则其上确界亦为乌拉姆数。结合前一个结论，得知若某基数并非乌拉姆数，则必为弱不可达基数。

• 正规测度（英语：Normal measure）
• 米切尔序（英语：Mitchell order）
• 大基数性质列表（英语：List of large cardinal properties）

• Banach, Stefan, Über additive Maßfunktionen in abstrakten Mengen, Fundamenta Mathematicae（英语：Fundamenta Mathematicae）, 1930, 15: 97–101 [2020-09-29], ISSN 0016-2736, doi:10.4064/fm-15-1-97-101, （原始内容存档于2018-08-08） .
• Banach, Stefan; Kuratowski, Kazimierz, Sur une généralisation du probleme de la mesure, Fundamenta Mathematicae（英语：Fundamenta Mathematicae）, 1929, 14: 127–131 [2020-09-29], ISSN 0016-2736, doi:10.4064/fm-14-1-127-131, （原始内容存档于2018-08-08） .
• Drake, F. R., Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics ; V. 76), Elsevier Science Ltd, 1974, ISBN 978-0-7204-2279-5 .
• Federer, H., Geometric Measure Theory, Classics in Mathematics 1st ed reprint, Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1996 [1969], ISBN 978-3540606567 .
• Jech, Thomas, Set theory, third millennium edition (revised and expanded), Springer, 2002, ISBN 3-540-44085-2 .
• Kanamori, Akihiro, The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings 2nd, Springer, 2003, ISBN 3-540-00384-3 .
• Maddy, Penelope, Believing the Axioms. II, The Journal of Symbolic Logic, 1988, 53 (3): 736–764, JSTOR 2274569, doi:10.2307/2274569 . 该文章的第一与第二部分（连同订正）可于作者网页 （页面存档备份，存于互联网档案馆）下载。
• Solovay, Robert M., Real-valued measurable cardinals, Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967), Providence, R.I.: Amer. Math. Soc.: 397–428, 1971, MR 0290961 .
• Ulam, Stanislaw, Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, Fundamenta Mathematicae（英语：Fundamenta Mathematicae）, 1930, 16: 140–150 [2020-09-29], ISSN 0016-2736, doi:10.4064/fm-16-1-140-150, （原始内容存档于2020-02-04） .