外测度

外测度是从 ${\displaystyle X}$  的幂集合映到 ${\displaystyle [0,\infty ]}$ 的函数

${\displaystyle \varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ]}$ 

且满足以下条件：

• 空集合的外测度为零：

${\displaystyle \varphi (\varnothing )=0}$ 

• 单调性：

${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \varphi (A)\leq \varphi (B)}$ 

• 次可加性: 对 X 的任意子集序列 ${\displaystyle \{A_j\}}${\displaystyle \{A_{j}\}}  （不管两两交集是否空集合）

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_{j})}$ 

接着可以借由外测度来定义 X 中的可测集合：子集合 ${\displaystyle E\subseteq X}$  是 ${\displaystyle \varphi }$ -可测的，当且仅当对 ${\displaystyle X}$  的任意子集合 ${\displaystyle A}$  有：

${\displaystyle \varphi (A)=\varphi (A\cap E)+\varphi (A\cap E^{c}).}$ 

所有的 ${\displaystyle \varphi }$ -可测集合构成了一个${\displaystyle \sigma }$ -代数 ，且如果 ${\displaystyle \varphi }$ 限制在我们刚定义的可测集合上时，${\displaystyle \varphi }$  会有可数可加的完备测度性质。这个方法是Carathéodory构造出来的，是构造勒贝格测度和积分理论的重要方法。

假设 ${\displaystyle (X,d)}$ 是一个度量空间且 ${\displaystyle \varphi }$ 是一个在 ${\displaystyle X}$ 之上的外测度。若 ${\displaystyle \varphi }$ 有以下性质 ：

只要

${\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,}$ 

就有

${\displaystyle \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)}$ 

那么称${\displaystyle \varphi }$ 是一个度量外测度。

如果${\displaystyle \varphi }$ 是${\displaystyle X}$ 上的度量外测度，那么${\displaystyle X}$ 的每个Borel子集都是${\displaystyle \varphi }$ -可测的。

有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。

令${\displaystyle X}$ 为一集合，${\displaystyle C}$ 是${\displaystyle X}$ 的包含空集的子集族，${\displaystyle p}$ 是${\displaystyle C}$ 上的非负扩展实数值函数，且${\displaystyle p}$  在空集处取零。

那么定义

${\displaystyle \varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}}$ 

则${\displaystyle \varphi }$ 是一个外测度。

另一种方法在度量空间上更有效，因为它直接得到了度量外测度。设 ${\displaystyle (X,d)}$ 是一个度量空间，${\displaystyle C}$ 是${\displaystyle X}$ 的包含空集的子集族，${\displaystyle p}$ 是${\displaystyle C}$ 上的非负扩展实数值函数，且${\displaystyle p}$ 在空集处取零。那么，对任意${\displaystyle \delta >0}$ ，令

${\displaystyle C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}}$ 

及

${\displaystyle \varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.}$ 

对${\displaystyle \delta \leq \delta '}$ 有${\displaystyle \varphi _{\delta }\geq \varphi _{\delta '}}$  成立，因为${\displaystyle \delta }$ 减小时，下确界是在更小的集合上取得的。所以

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]}$ 

存在（可能是无穷大）。

这样构造的${\displaystyle \varphi _{0}}$ 是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950

• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953