单射

令f 为一函数，且其定义域为一集合X，当且仅当对所有于X 内的元素a 及b，当f(a) = f(b)时，a = b，则该函数为单射函数；等价地说，当a ≠ b时，f(a) ≠ f(b)。

以逻辑符号表示如下：

${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b}$ 

依换质换位律，该叙述逻辑等价于

${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)}$ 

• 对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。
• 函数f : R → R，其定义为f(x) = 2x + 1，是单射的。
• 函数g : R → R，其定义为g(x) = x²，不是单射的，因为g(1) = 1 = g(−1)。但若将g的定义域限在非负实数[0,+∞)内，则g是单射的。
• 指数函数${\displaystyle \exp :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}}$ 是单射的。
• 自然对数函数${\displaystyle \ln :(0,+\infty )\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}}$ 是单射的。
• 函数${\displaystyle g:\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{3}-x}$ ，不是单射的，因为 g(0) = g(1)。

形象化地说，当定义域和到达域都是实数集 R时，单射函数f : R → R为一绝不会与任一水平线相交超过一点的图。

具有左反函数的函数，必为单射。此处的条件（具有左反函数），比具有反函数弱：给定一函数f : X → Y，若存在一函数g : Y → X，使得对X内的每个元素x，

g(f(x)) = x，

则称g为f的左反函数，而上式也就推出f为单射函数。

相反地，每个具非空定义域的单射函数f 都会有个左反函数g^[2]。须注意的是，g 不一定会是f 的反函数，因为相反顺序的函数复合f ∘ g 不一定也会是Y 上的恒等函数。

事实上，要将一单射函数f : X → Y变成双射函数，只需要将其陪域Y替换成其值域J = f(X)就行了。亦即，令g : X → J，使其对所有X内的x，g(x) = f(x)；如此g便为满射的了。确实，f可以分解成incl_J,Yog，其中incl_J,Y是由J到Y的内含映射。

• 若f和g皆为单射的，则f o g亦为单射的。

• 若g o f为单射的，则f为单射的（但g不必然要是）。
• f : X → Y是单射的当且仅当当给定两函数g, h : W → X会使得f o g = f o h时，则g = h。
• 若f : X → Y为单射的且A为X的子集，则f ⁻¹(f(A)) = A。
• 若f : X → Y是单射的且A和B皆为X的子集，则f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。
• 任一函数 h : W → Y 皆可分解为 h = f o g 其中 f 是单射而 g 是满射。此分解至多差一个自然同构， f 可以设想为从 h(W) 到 Y 的内含映射。
• 若 f : X → Y 是单射，则在基数的意义下 Y 的元素数量不少于 X。
• 若 X 与 Y 皆为有限集，则 f : X → Y 是单射当且仅当它是满射。
• 内含映射总是单射。

以范畴论的语言来说，单射函数恰好是集合范畴内的单态射。

• 双射
• 单射模
• 单态射
• 满射

• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions （页面存档备份，存于互联网档案馆）