满射

函数${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ，定义为${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ ，不是一个满射，因为，（举例）不存在一个实数满足${\displaystyle x^{2}=-1}$ 。

但是，如果把${\displaystyle g}$ 的陪域限制到只有非负实数，则函数${\displaystyle g}$ 为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数${\displaystyle y}$ ，我们能对${\displaystyle y=x^{2}}$ 求解，得到${\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}}$ 。

根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。

若将定义在${\displaystyle X}$ 上的函数${\displaystyle f}$ ，视为其图像，即${\displaystyle \{(x,f(x)):x\in X\}}$ （集合论经常如此行），则满射与否，不仅是${\displaystyle f}$ 的性质，而是映射（需要声明陪域）的性质。^[1]单射与否可以单凭图像判断，但满射则不同，不能单凭图像判断，因为要知道陪域。

右可逆函数

函数${\displaystyle g:Y\to X}$ 称为函数${\displaystyle f:X\to Y}$ 的右逆，意思是${\displaystyle f(g(y))=y}$ 对${\displaystyle Y}$ 的所有元素${\displaystyle y}$ 成立。简而言之，${\displaystyle g}$ 的效果，可以${\displaystyle f}$ 复原。用文字表示，${\displaystyle g}$ 是${\displaystyle f}$ 的右逆，意思是先做${\displaystyle g}$ 后做${\displaystyle f}$ 的复合${\displaystyle f\circ g}$ ，等于${\displaystyle Y}$ 上的恒等函数，即不造成任何变化。此处不要求${\displaystyle g}$ 是${\displaystyle f}$ 的真正反函数，因为另一次序的复合${\displaystyle g\circ f}$ ，不必是${\displaystyle X}$ 的恒等函数。换言之，${\displaystyle f}$ 可以“复原”或“抵消”${\displaystyle g}$ ，但不必被${\displaystyle g}$ 复原或抵消。

若函数有右逆，则必为满射。但反之，“每个满射皆有右逆”此一命题，等价于选择公理，故在某些集合论中（例如假设决定公理为真的集合论系统），不必为真。

若${\displaystyle f:X\to Y}$ 为满射，${\displaystyle B}$ 为${\displaystyle Y}$ 的子集，则${\displaystyle f(f^{\mathrm {pre} }(B))=B}$ ，即从预象${\displaystyle f^{\mathrm {pre} }(B)}$ ，可以找回${\displaystyle B}$ 。

右可消去

函数${\displaystyle f:X\to Y}$ 是满射，当且仅当其为右可消去（英语：right-cancellative）：^[2]给定任何两个有公共定义域和陪域的函数${\displaystyle g,h:Y\to Z}$ ，若${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ ，则有${\displaystyle g=h}$ 。此性质的叙述用到函数和复合，可以对应推广成范畴的态射和复合。右可消的态射称为满态射（英语：epimorphism）或满同态。满射与满态射的关系在于，满射就是集合范畴中的满态射。

范畴论中，有右逆的态射必为满态射，但反之则不然。态射${\displaystyle f}$ 的右逆${\displaystyle g}$ 也称为${\displaystyle f}$ 的截面（英语：section (category theory)）。而有右逆的态射称为分裂满态射（英语：split epimorphism），是一类特殊的满态射。

作为二元关系

以${\displaystyle X}$ 为定义域，${\displaystyle Y}$ 为值域的函数，可以视为两集合之间的左全（英语：left-total relation）右唯一（英语：right-unique relation）的二元关系，因为可将函数与图像等同。此观点下，由${\displaystyle X}$ 到${\displaystyle Y}$ 的满射，是右唯一而既左全又右全的关系。

定义域不小于陪域

满射的定义域，必有大于或等于其陪域的基数：若${\displaystyle f:X\to Y}$ 为满射，则${\displaystyle X}$ 的元素个数必定至少等于${\displaystyle Y}$ 的元素个数（在基数意义下）。但此结论的证明，需要假定选择公理，以证明${\displaystyle f}$ 有右逆，即存在函数${\displaystyle g:Y\to X}$ 使得${\displaystyle f(g(y))=y}$ 对${\displaystyle Y}$ 的任意元素${\displaystyle y}$ 成立。满足此性质的${\displaystyle g}$ 必为单射，故由基数大小比较的定义，有${\displaystyle |Y|\leq |X|}$ 。

特别地，若${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 皆是有限，且两者的元素个数相同，则${\displaystyle f:X\to Y}$ 是满射当且仅当${\displaystyle f}$ 为单射。

给定两个集合${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ ，以${\displaystyle X\leq ^{*}Y}$ 表示“或者${\displaystyle X}$ 为空，或者存在由${\displaystyle Y}$ 至${\displaystyle X}$ 的满射”。利用选择公理，可以证明，${\displaystyle X\leq ^{*}Y}$ 和${\displaystyle Y\leq ^{*}X}$ 两者一起，足以推出${\displaystyle |Y|=|X|}$ 。此为康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理的变式。

复合与分解

两个满射的复合仍是满射：若${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ 皆为满射，且${\displaystyle g}$ 的陪域是${\displaystyle f}$ 的定义域，则${\displaystyle f\circ g}$ 也是满射。反之，若${\displaystyle f\circ g}$ 为满，则${\displaystyle f}$ 是满射，但${\displaystyle g}$ 不必为满射。与右可消去一节一样，从集合范畴的满射，可以推广到一般范畴的满态射。

任何函数都可以分解成一个满射与一个单射的复合：对任意${\displaystyle h:X\to Z}$ ，都存在满射${\displaystyle f:X\to Y}$ 和单射${\displaystyle g:Y\to Z}$ 使得${\displaystyle h=g\circ f}$ ，取法如下：定义${\displaystyle Y}$ 为所有原像${\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}$ 的集合，其中${\displaystyle z}$ 历遍${\displaystyle h}$ 的值域。该些原像两两互斥，且划分${\displaystyle X}$ 。于是，${\displaystyle f}$ 将每个${\displaystyle x}$ 映到包含${\displaystyle x}$ 的原像（此为${\displaystyle Y}$ 的元素），然后${\displaystyle g}$ 再将${\displaystyle Y}$ 的每个元素（形如${\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}$ ）映到相应的${\displaystyle z}$ 。则${\displaystyle f}$ 为满射（因为${\displaystyle Y}$ 中的元素，是原像${\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}$ ，且非空，故有某个${\displaystyle x\in h^{\mathrm {pre} }(z)}$ ，所以由${\displaystyle f}$ 的定义有${\displaystyle f(x)=h^{\mathrm {pre} }(z)}$ ），而根据${\displaystyle g}$ 的定义，其为单射。

导出满射和导出双射

任何函数，若将其陪域限制成值域，则可以视为满射，称为其导出满射。任何满射，若将定义域换成商集，即将函数值相同的参数，折叠成同一个“等价类”，则得到一个双射，其由等价类组成的集合，射去原函数的陪域。以符号表示，每个满射${\displaystyle f:A\to B}$ 可以分解成先做一个商映射，再做一个双射。考虑以下等价关系：${\displaystyle x\sim y}$ 当且仅当${\displaystyle f(x)=f(y)}$ 。以${\displaystyle A/{\sim }}$ 表示此等价关系下，${\displaystyle A}$ 的等价类的集合。换言之，${\displaystyle A/{\sim }}$ 是${\displaystyle f}$ 所有原像的集合。以${\displaystyle P:A\to A/{\sim }}$ 表示将${\displaystyle x}$ 映到等价类${\displaystyle [x]_{\sim }}$ 的商映射，又设${\displaystyle f_{P}:A/{\sim }\to B}$ ，定义为${\displaystyle f_{P}([x]_{\sim })=f(x)}$ ，则${\displaystyle f=f_{P}\circ P}$ 。由定义知，${\displaystyle P}$ 是满射，而${\displaystyle f_{P}}$ 是双射。

• 单射
• 双射

1. ^ T. M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1981: 35. 
2. ^ Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic [拓扑斯，逻辑的范畴论分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1. （原始内容存档于2020-03-21） （英语）.