自然对数

十七世纪

约翰·纳皮尔在1614年^[3]以及约斯特·比尔吉在6年后^[4]，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念。按后世的观点，约斯特·比尔吉的底数1.0001¹⁰⁰⁰⁰相当接近自然对数的底数${\displaystyle e}$ ，而约翰·纳皮尔的底数0.9999999^10000000相当接近${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$ ^[5]。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，Henry Briggs（英语：Henry Briggs (mathematician)）建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法^[6]于1624年部分完成了常用对数表的编制。

形如${\displaystyle f(x)=x^{p}}$ 的曲线都有一个代数反导数，除了特殊情况${\displaystyle p=-1}$ 对应于双曲线的弓形面积（英语：Quadrature (mathematics)），即双曲线扇形；其他情况都由1635年发表的卡瓦列里弓形面积公式（英语：Cavalieri's quadrature formula）给出^[7]，其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的阿基米德完成（抛物线的弓形面积（英语：The Quadrature of the Parabola）），双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年Grégoire de Saint-Vincent（英语：Grégoire de Saint-Vincent）将对数联系于双曲线${\displaystyle xy=1}$ 的弓形面积，他发现x轴上${\displaystyle [a,b]}$ 两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形同${\displaystyle [c,d]}$ 对应的扇形，在${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$ 时面积相同，这指出了双曲线从${\displaystyle x=1}$ 到${\displaystyle x=t}$ 的积分${\displaystyle f(t)}$ 满足^[8]：

${\displaystyle f(tu)=f(t)+f(u).\,}$ 

1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（英语：Alphonse Antonio de Sarasa）将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}}$ 展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中^[9]，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。

十八世纪

大约1730年，欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数为^[10][11]：

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},}$ 

${\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)}$ 

1742年威廉·琼斯发表了现在的幂指数概念^[12]。

欧拉定义自然对数为序列的极限：

${\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right).}$ 

${\displaystyle \ln(a)}$ 正式定义为积分，

${\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$ 

这个函数为对数是因满足对数的基本性质:

${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).\,\!}$ 

这可以通过将定义了${\displaystyle \ln(ab)}$ 的积分拆分为两部分，并在第二部分中进行换元${\displaystyle x=ta}$ 来证实:

${\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}\;d(at)}$ 

${\displaystyle =\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b).}$ 

幂公式${\displaystyle \ln(t^{r})=r\ln(t)}$ 可如下推出:

${\displaystyle \ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}d\left(u^{r}\right)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}\left(ru^{r-1}\,du\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{u}}\,du=r\ln(t).}$ 

第二个等式使用了换元${\displaystyle u=x^{\frac {1}{r}}}$ 。

自然对数还有在某些情况下更有用的另一个积分表示：

${\displaystyle \ln(x)=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right).}$ 

• ${\displaystyle \ln(1)=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0\,}$ 
• ${\displaystyle \operatorname {ln} (-1)=i\pi \,}$ 

(参见复数对数)

• ${\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y\,}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1\,}$ 
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\,\ln(x)\,}$ 
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {for}}\quad x>0\,}$ 
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {for}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1\,}$ 

证明
${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)-\ln 1}{h}}={\frac {d}{dx}}\ln x{\Bigg |}_{x=1}=1}$

自然对数的导数为

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,}$ 

证明一 （微积分第一基本定理）:${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}}$ 

证明二: 按此影片 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}}$ 

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {\ln({\frac {x+h}{x}})}{h}}}$ 

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\right]\quad }$ 

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}}$ 

设 ${\displaystyle u={\frac {h}{x}}\Rightarrow ux=h}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{h}}={\frac {1}{ux}}}$ 

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{ux}}}$ 

${\displaystyle =\lim _{u\to 0}\ln \left[(1+u)^{\frac {1}{u}}\right]^{\frac {1}{x}}}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{u}}}$ 

设 ${\displaystyle n={\frac {1}{u}}\Rightarrow u={\frac {1}{n}}}$ 

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\ln \left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\ln e}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}}$ 

用自然对数定义的更一般的对数函数，${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}}$ ，根据其逆函数即一般指数函数的性质，它的导数为^[13][14]：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}.}$ 

根据链式法则，以${\displaystyle f(x)}$ 为参数的自然对数的导数为

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln[f(x)]={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$ 

右手端的商叫做${\displaystyle f}$ 的对数导数（英语：logarithmic derivative），通过${\displaystyle \ln(f(x))}$ 的导数的方法计算${\displaystyle f'(x)}$ 叫做对数微分^[15]。

自然对数的导数性质导致了${\displaystyle \ln(1+x)}$ 在0处的泰勒级数，也叫做麦卡托级数：

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }$ 

对于所有${\displaystyle \left|x\right|\leq 1,}$  但不包括${\displaystyle x=-1.}$ 

把${\displaystyle x-1}$ 代入${\displaystyle x}$ 中，可得到${\displaystyle \ln(x)}$ 自身的级数。通过在麦卡托级数上使用欧拉变换，可以得到对绝对值大于1的任何${\displaystyle x}$ 有效的如下级数:

${\displaystyle \ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots \,.}$ 

这个级数类似于贝利-波尔温-普劳夫公式。

还要注意到${\displaystyle x \over {x-1}}$ 是自身的逆函数，所以要生成特定数${\displaystyle y}$ 的自然对数，简单把${\displaystyle x \over {x-1}}$ 代入${\displaystyle x}$ 中。

${\displaystyle \ln {x}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n}}\left({x-1 \over x}\right)^{n}=\left({x-1 \over x}\right)+{1 \over 2}\left({x-1 \over x}\right)^{2}+{1 \over 3}\left({x-1 \over x}\right)^{3}+\cdots \,}$ 

对于${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq {\frac {1}{2}}\,.}$ 

自然数的倒数的总和

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$ 

叫做调和级数。它与自然对数有密切联系：当${\displaystyle n}$ 趋于无穷的时候，差

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$ 

收敛于欧拉-马歇罗尼常数。这个关系有助于分析算法比如快速排序的性能。^[16]

自然对数通过分部积分法积分:

${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$ 

假设:

${\displaystyle u=\ln(x)\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}$ 

${\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x\,}$ 

所以:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}$ 

自然对数可以简化形如${\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$ 的函数的积分：${\displaystyle g(x)}$ 的一个原函数给出为${\displaystyle \ln(\left\vert f(x)\right\vert )}$ 。这是基于链式法则和如下事实:

${\displaystyle \ {d \over dx}\ln \left|x\right|={1 \over x}.}$ 

换句话说，

${\displaystyle \int {1 \over x}dx=\ln |x|+C}$ 

且

${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$ 

例子

下面是${\displaystyle g(x)=\tan x}$ 的例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\sin x \over \cos x}\,dx\\&=\int {-{d \over dx}\cos x \over {\cos x}}\,dx.\\\end{aligned}}}$ 

设${\displaystyle f(x)=\cos x}$ 且${\displaystyle f'(x)=-\sin x}$ ：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=-\ln {\left|\cos x\right|}+C\\&=\ln {\left|\sec x\right|}+C\\\end{aligned}}}$ 

在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特介入双曲函数^[17]，并计算双曲几何中双曲三角形的面积^[18]。对数函数是在直角双曲线${\displaystyle xy=1}$ 下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线${\displaystyle y=x}$ 上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角${\displaystyle u}$ ，在渐近线即x或y轴上需要有的${\displaystyle x}$ 或${\displaystyle y}$ 的值。显见这里的底边是${\displaystyle \left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ，垂线是${\displaystyle \left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 。

通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：

• ${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$ 
• ${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$ 

单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线${\displaystyle xy=1}$ 下双曲角的${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ 。

尽管自然对数没有简单的连分数，但有一些广义连分数如:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\\\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\\\end{aligned}}}$ 

这些连分数特别是最后一个对接近1的值快速收敛。但是，更大的数的自然对数，可以轻易的用这些更小的数的自然对数的加法来计算，带有类似的快速收敛。

例如，因为${\displaystyle 2=1.25^{3}\times 1.024}$ ，2的自然对数可以计算为:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}}$ 

进而，因为${\displaystyle 10=1.25^{10}\times 1.024^{3}}$ ，10的自然对数可以计算为:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}}$ 

指数函数可以扩展为对任何复数${\displaystyle x}$ 得出复数值为${\displaystyle e^{x}}$ 的函数，只需要简单使用${\displaystyle x}$ 为复数的无穷级数；这个指数函数的逆函数形成复数对数，并带有正常的对数的多数性质。但是它涉及到了两个困难: 不存在${\displaystyle x}$ 使得${\displaystyle e^{x}=0}$ ；并且有着${\displaystyle e^{2\pi i}=1=e^{0}}$ 。因为乘法性质仍适用于复数指数函数，${\displaystyle e^{z}=e^{z+2n\pi i}}$ ，对于所有复数${\displaystyle z}$ 和整数${\displaystyle n}$ 。

所以对数不能定义在整个复平面上，并且它是多值函数，就是说任何复数对数都可以增加${\displaystyle 2\pi i}$ 的任何整数倍而成为等价的对数。复数对数只能在切割平面上是单值函数。例如，${\displaystyle \log i={\frac {1}{2}}\pi i}$ 或${\displaystyle {\frac {5}{2}}\pi i}$ 或${\displaystyle -{\frac {3}{2}}\pi i}$ 等等；尽管${\displaystyle i^{4}=1}$ ，${\displaystyle 4\log =i}$ 不能定义为${\displaystyle 2\pi i}$ 或${\displaystyle 10\pi i}$ 或${\displaystyle -6\pi i}$ ，以此类推。

• 自然对数函数在复平面（主分支）上的绘图
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  z = Re(ln(x+iy))

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  前三图的叠加

主值定义

对于每个非0复数${\displaystyle z=x+yi}$ ，主值${\displaystyle \log z}$ 是虚部位于区间${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ 内的对数。表达式${\displaystyle \log 0}$ 不做定义，因为没有复数${\displaystyle w}$ 满足${\displaystyle e^{w}=0}$ 。

要对${\displaystyle \log z}$ 给出一个公式，可以先将${\displaystyle z}$ 表达为极坐标形式，${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ 。给定${\displaystyle z}$ ，极坐标形式不是确切唯一的，因为有可能向${\displaystyle \theta }$ 增加${\displaystyle 2\pi }$ 的整数倍，所以为了保证唯一性而要求${\displaystyle \theta }$ 位于区间${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ 内；这个${\displaystyle \theta }$ 叫做幅角的主值，有时写为${\displaystyle \operatorname {arg} z}$ 或${\displaystyle \operatorname {atan} 2(y,x)}$ 。则对数的主值可以定义为^[19] ：

${\displaystyle \operatorname {Log} z:={\text{ln }}r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\operatorname {ln} {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).}$ 

例如，${\displaystyle \operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-{\frac {\pi i}{2}}}$ 。

自然指数有应用于表达放射衰变（放射性）之类关于衰减的过程，如放射性原子数目${\displaystyle N}$ 随时间变化率${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-pN}$ ，常数${\displaystyle p}$ 为原子衰变概率，积分得${\displaystyle N(t)=N(0)\exp(-pt)}$ 。

• John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
• Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
• Donald Sarason, Complex function theory （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.