多值函数

多值函数（英语：multivalued function, multifunction）为一数学名词，是一种二元关系。其中，定义域 $X$ 中的每一个元素都对应陪域 $Y$ 中的至少一个元素。

图中的不是真正的函数，因为X集合中的3对应Y集合中的二个元素b及c

此名词来源于复分析，例如复对数函数便是其中一例。函数原本的定义中不允许 $X$ 的元素对应多于一个 $Y$ 中的元素；但复分析中，为了作区分，将原来定义的函数称为单值函数。

有些多值函数拥有主分支，而使得多值函数可以转化为单值函数。此时该单值函数的值称为主值（principal value）。

例子

每个大于0的实数都有二个实数的平方根，例如4的平方根是{−2, +2}.，0的平方根是0。
一般而言，许多不为0的复数都有二个平方根、三个立方根、n个n次方根，只有0的n次方根为0。
复对数函数是多值函数。 $\log(a+bi)$ （ $a$ 和 $b$ 为实数）的值是 $\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni$ ，其中 $n$ 为任意整数。 .
反三角函数为周期性的多值函数，例如

\tan \left({\textstyle {\frac {\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {5\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {-3\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {(2n+1)\pi }{4}}}\right)=\cdots =1.

因此，arctan(1)在本质上会对应许多数值：

π

/4, 5

π

/4, −3

π

/4等。若限制其tan x的定义域在−

π

/2 < x <

π

/2，此区域下tan x为单纯递增，则arctan(x)的值域会在−

π

/2 < y <

π

/2。这种限定区域下的值称为主值（英语：Principal value）。

不定积分也可以视为是多值函数，函数f的不定积分是一个函数的集合，集合中的每一个函数微分后都是f，因此不定积分存在一积分常数，因为积分常数不论本身数值多少，微分后都是0。

所有的多值函数都是来自非单射的函数，因为原始函数无法完全保存其输入的资讯，因此函数也就不可逆。

复变函数的多值函数会有分支点（英语：branch point），例如n次方根以及对数函数中，0是分支点，而arctan函数中，虚数单位i和−i为分支点。利用分支点可以限定范围的方式，将这些函数重新定义为单值函数。若是在实函数的例子中，这个限制的区域一般会称为函数的主分支。

参考资料

C. D. Aliprantis and K. C. Border, Infinite dimensional analysis. Hitchhiker's guide, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
J. Andres and L. Górniewicz, Topological Fixed Point Principles for Boundary Value Problems, Kluwer Academic Publishers, 2003
J.-P. Aubin and A. Cellina, Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory, Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Berlin, 1984
J.-P. Aubin and H. Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhäuser, Basel, 1990
K. Deimling, Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter, 1992
A. Geletu, Introduction to Topological Spaces and Set-Valued Maps (Lecture notes), Ilmenau University of Technology, 2006
H. Kleinert, Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation, World Scientific (Singapore, 2008) (also available online（页面存档备份，存于互联网档案馆）)
H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I: Superflow and Vortex Lines, 1–742, Vol. II: Stresses and Defects, 743–1456, World Scientific, Singapore, 1989 (also available online: Vol. I（页面存档备份，存于互联网档案馆） and Vol. II（页面存档备份，存于互联网档案馆）)
D. Repovš and P.V. Semenov, Continuous Selections of Multivalued Mappings（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
E. U. Tarafdar and M. S. R. Chowdhury, Topological methods for set-valued nonlinear analysis（页面存档备份，存于互联网档案馆）, World Scientific, Singapore, 2008
F.-C. Mitroi, K. Nikodem, S. Wąsowicz, Hermite-Hadamard inequalities for convex set-valued functions, Demonstratio Mathematica, Vol. 46, Issue 4(2013), pp.655-662.

例子

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