闭无界集

严格而言，若${\displaystyle \kappa }$ 为极限序数，则集合${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ 为闭当且仅当对每个${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ，若${\displaystyle \sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0}$ ，则${\displaystyle \alpha \in C}$ 。因此，若${\displaystyle C}$ 中，某序列的极限小于${\displaystyle \kappa }$ ，则该极限也在${\displaystyle C}$ 中。^[1]:91

若${\displaystyle \kappa }$ 为极限序数，且${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ ，则${\displaystyle C}$ 称为在${\displaystyle \kappa }$ 中无界，意思是对任意${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ，皆有${\displaystyle \beta \in C}$ 使${\displaystyle \alpha <\beta }$ 。

若集合既闭又无界，则为闭无界集。有时也考虑闭的真类（由序数组成的真类必然在所有序数组成的类${\displaystyle \mathrm {On} }$ 中无界）。

例如，所有可数极限序数构成的集合就是首个不可数序数的闭无界子集；然而，其并非任何更大的极限序数的闭无界子集，因为其既不闭，也非无界。所有极限序数${\displaystyle \alpha <\kappa }$ 构成的集合是${\displaystyle \kappa }$ 的闭无界子集。从另一个角度，闭无界集即是正规函数（英语：normal function）^[1]:92（即递增且连续的函数）的值域。

更一般地可以定义何种${\displaystyle C\subseteq [X]^{\lambda }}$ 为闭无界集。若${\displaystyle X}$ 非空，${\displaystyle \lambda }$ 为基数，且${\displaystyle X}$ 中每个大小小于${\displaystyle \lambda }$ 的子集都包含于${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ 的某个元素中，则${\displaystyle C}$ 称为闭无界集。（参见固定集（英语：stationary set））

设${\displaystyle \kappa }$ 为极限序数，且其共尾性${\displaystyle \lambda }$ 不可数。对${\displaystyle \alpha <\lambda }$ ，设${\displaystyle \langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle }$ 为${\displaystyle \kappa }$ 的一列闭无界子集，则${\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }}$ 也是闭无界集。原因是，闭集的任意交必为闭，故只需证明该交集无界。固定任意${\displaystyle \beta _{0}<\kappa }$ ，又对每个${\displaystyle n<\omega }$ ，从每个${\displaystyle C_{\xi }}$ 中，选取元素${\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}}$ （可以如此选取，因为每个${\displaystyle C_{\xi }}$ 都无界）。由于此为少于${\displaystyle \lambda }$ 个序数，且每个都小于${\displaystyle \kappa }$ ，其上确界也必小于${\displaystyle \kappa }$ ，称其为${\displaystyle \beta _{n+1}}$ 。如此，得到可数序列${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\dots }$ ，其极限同样会是序列${\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\dots }$ 的极限，而由于每个${\displaystyle C_{\xi }}$ 皆为闭，且${\displaystyle \lambda }$ 不可数，后者的极限必在${\displaystyle C_{\xi }}$ 中，所以${\displaystyle (\beta _{n})}$ 的极限是上述交集的元素，且大于${\displaystyle \beta _{0}}$ ，但${\displaystyle \beta _{0}}$ 为任意，故交集无界，即为所求证。^[1]:92

由此可见，若${\displaystyle \kappa }$ 为正则基数（英语：regular cardinal），则闭无界集生成${\displaystyle \kappa }$ 上的非主${\displaystyle \kappa }$ 完备滤子。该滤子可以符号表示成${\displaystyle \{S\subset \kappa :\exists C\subseteq \kappa ,C\subseteq S,}$  且${\displaystyle C}$ 是${\displaystyle \kappa }$ 中的闭无界集${\displaystyle \}}$ 。

若${\displaystyle \kappa }$ 为正则基数，则闭无界集关于对角交运算（英语：Diagonal intersection）亦是封闭的。^[1]:92

反之，若${\displaystyle \kappa }$ 正则，而${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 为${\displaystyle \kappa }$ 上关于对角交运算封闭的滤子，且所有形如${\displaystyle \{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}}$ （其中${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ）的集合皆为${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的元素，则所有闭无界集均属于${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 。

• 闭无界滤子（英语：club filter）
• 固定集（英语：Stationary set）
• 梅花系原理（英语：Clubsuit）

1. ^ ^{1.0 1.1 1.2 1.3} Jech, Thomas. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded [集合论：第三千纪版，经修订及扩展]. Springer. 2003. ISBN 3-540-44085-2 （英语）. 

• Lévy, Azriel. Basic Set Theory [基础集合论]. Perspectives in Mathematical Logic Reprinted 2002, Dover (Springer-Verlag). 1979. ISBN 0-486-42079-5 （英语）. 

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