梭罗维模型

以下，ZH表示策梅洛-弗兰克尔集合论；而DC表示依赖选择公理。

梭罗维的理论如次表示：假定存在不可达基数，那就存在一个合适的ZF+DC的力迫延伸${\displaystyle V[G]}$ ，使得任意的实数集合都是勒贝格可测的、且具有完美集性质（英语：perfect set property）以及贝尔性质。

梭罗维以两个步骤建构他的模型，而他的建构从一个包含不可达基数${\displaystyle \mathrm {K} }$ 的ZFC模型${\displaystyle M}$ 开始。

首先第一步是用力迫中将所有比${\displaystyle \mathrm {K} }$ 还小的基数坍缩至${\displaystyle \Omega }$ 的概念，加入一个一般的集合${\displaystyle G}$ 以将李维坍缩（英语：Levy collapse）${\displaystyle M\left[G\right]}$ 套用在${\displaystyle M}$ 上，而这样得到的${\displaystyle M\left[G\right]}$ 会是一个ZFC的模型，而在这模型中所有可在序数的可数序列上定义的实数集合都是勒贝格可测的，且有着贝尔性质与完美集性质（而这包括了所有实数可定义的射影集（英语：projective set）；然而因为塔斯基不可定义定理之故，实数的可定义集无法以集合论的语言定义；而可在序数的可数序列上定义的实数集合则可如此定义）

第二步是将梭罗维模型${\displaystyle N}$ 给建构成所有${\displaystyle M\left[G\right]}$ 中可自然地在序数的可数序列上定义的集合的类，这模型${\displaystyle N}$ 是${\displaystyle M\left[G\right]}$ 的内模型，且这模型满足ZF+DC、所有的实数集合都是勒贝格可测的，且具有完美集性质与贝尔性质。而由于这证明利用了${\displaystyle M\left[G\right]}$ 是可在序数的可数序列上定义的这事实之故，因此${\displaystyle N}$ 与${\displaystyle M\left[G\right]}$ 有着相同的实数集。

在不使用梭罗维模型${\displaystyle N}$ 的状况下，也可使用${\displaystyle M\left[G\right]}$ 较小的内模型​​L(R)（英语：​​L(R)），而​​L(R)（英语：​​L(R)）包括了实数的可建构闭包，而这闭包具有类似的性质。

梭罗维在他的论文中认为不可达基数不是必需的，一些人也在不假定不可达基数的存在性的状况下，证明了梭罗维模型的弱化版，尤其柯里文（Krivine）在1969年证明了存在有ZFC的模型，在其中所有序数可定义的集合都是可测的。梭罗维则正明说存在一个ZF+DC的模型，在其中有一些勒贝格测度的平移不变的延伸可套用至所有的实数上；而细拉（Shelah）则在1984年证明说存在有一个模型，在其中所有的实数都有贝尔性质（而在这种状况下，不可达基数的存在性就是不必要的）。

完美集性质的部分已在1957年由斯贝科（Specker）解决，他证明说在ZF下，若所有的实数集合都有完美集性质且第一个不可数基数${\displaystyle \aleph _{1}}$ 是正则的，那么在可构造全集（英语：constructible universe）中，${\displaystyle \aleph _{1}}$ 就是不可达的。而将他的结果与梭罗维模型结合，可知“存在不可达基数”和“所有的实数集合都有完美集性质”两者在ZF中是同等相容的。

最后，细拉在1984年证明说不可达基数的相容性对于建构所有实数都是勒贝格可测的模型而言是必要的；更精确地，他证明了说若所有的实数的Σ1
3集（英语：Projective hierarchy#Table）都是可测的，那${\displaystyle \aleph _{1}}$ 在可构造全集中就是不可达的，因此不可达基数的条件是不能自梭罗维模型中拿掉的；细拉也证明说在（不用不可达基数）建构一个在其中所有实数的Δ1
3集合都可测的模型方面，Σ1
3条件已近乎是最佳解了。可见Raisonnier (1984)、Stern (1985)跟Miller (1989)的文中对细拉结果的演示。

细拉跟乌丁在1990年证明说若超紧致基数（英语：supercompact cardinal）存在，那所有​​L(R)中的实数集合，也就是所有由实数生成的可构造集合，都是勒贝格可测的且具有贝尔性质，而这包含了所有“可以合理定义”的实数集合。

• Krivine, Jean-Louis, Modèles de ZF + AC dans lesquels tout ensemble de réels définissable en termes d'ordinaux est mesurable-Lebesgue, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 1969, 269: A549–A552, ISSN 0151-0509, MR 0253894 
• Krivine, Jean-Louis, Théorèmes de consistance en théorie de la mesure de R. Solovay, Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 Exposés 347-363, Lecture Notes in Mathematics 179: 187–197, 1971 [2022-07-28], ISBN 978-3-540-05356-9, doi:10.1007/BFb0058812, （原始内容存档于2022-07-28） 
• Miller, Arnold W., Review of "Can You Take Solovay's Inaccessible Away? by Saharon Shelah", The Journal of Symbolic Logic (Association for Symbolic Logic), 1989, 54 (2): 633–635, ISSN 0022-4812, JSTOR 2274892, doi:10.2307/2274892 
• Raisonnier, Jean, A mathematical proof of S. Shelah's theorem on the measure problem and related results., Israel Journal of Mathematics, 1984, 48: 48–56, MR 0768265, doi:10.1007/BF02760523   
• Shelah, Saharon, Can you take Solovay's inaccessible away?, Israel Journal of Mathematics, 1984, 48 (1): 1–47, ISSN 0021-2172, MR 0768264, doi:10.1007/BF02760522   
• Shelah, Saharon; Woodin, Hugh, Large cardinals imply that every reasonably definable set of reals is Lebesgue measurable, Israel Journal of Mathematics, 1990, 70 (3): 381–394, ISSN 0021-2172, MR 1074499, doi:10.1007/BF02801471   
• Solovay, Robert M., A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable, Annals of Mathematics, Second Series, 1970, 92 (1): 1–56, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970696, MR 0265151, doi:10.2307/1970696 
• Specker, Ernst, Zur Axiomatik der Mengenlehre (Fundierungs- und Auswahlaxiom), Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 1957, 3 (13–20): 173–210, ISSN 0044-3050, MR 0099297, doi:10.1002/malq.19570031302 
• Stern, Jacques, Le problème de la mesure, Astérisque, 1985, (121): 325–346, ISSN 0303-1179, MR 0768968