黎曼积分

让函数 ${\displaystyle f}$  为定义在区间 ${\displaystyle [a,b]}$  的非负函数，我们想要计算 ${\displaystyle f(x)}$ 所代表的曲线与 ${\displaystyle x}$ 坐标轴跟两条垂直线 ${\displaystyle x=a}$  跟 ${\displaystyle x=b}$  所夹图形的面积（既右图区域 ${\displaystyle S}$  的面积），可将区域 ${\displaystyle S}$  的面积以下面符号表示：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$ 

黎曼积分的基本概念就是对 x-轴的分割越来越细，则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 ${\displaystyle S}$  的面积（参考右方第二张图）。同时请注意，如函数为负函数， ${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} _{<0}}$ ，则其面积亦为负值。

区间的分割

一个闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$ 。(由a至b内的所有x)

每个闭区间${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ 叫做一个子区间。定义${\displaystyle \lambda }$ 为这些子区间长度的最大值：${\displaystyle \lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})}$ ，其中${\displaystyle 0\leq i\leq n-1}$ 。

再定义取样分割。一个闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 的一个取样分割是指在进行分割${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$ 后，于每一个子区间中${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ 取出一点${\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}}$ 。${\displaystyle \lambda }$ 的定义同上。

精细化分割：设${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ 以及${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ 构成了闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 的一个取样分割，${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ 和${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ 是另一个分割。如果对于任意${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ，都存在${\displaystyle r(i)}$ 使得${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}$ ，并存在${\displaystyle r(i)\leq j<r(i+1)}$ 使得${\displaystyle t_{i}=s_{j}}$ ，那么就把分割：${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ 、${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ 称作分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ 、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ 的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

黎曼和

对一个在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 有定义的实值函数${\displaystyle f}$ ，${\displaystyle f}$ 关于取样分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ 、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ 的黎曼和（积分和）定义为以下和式：

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})}$ 

和式中的每一项是子区间长度${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}}$ 与在${\displaystyle t_{i}}$ 处的函数值${\displaystyle f(t_{i})}$ 的乘积。直观地说，就是以标记点${\displaystyle t_{i}}$ 到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

黎曼积分

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。

要使得“越来越‘精细’”有效，需要把${\displaystyle \lambda }$ 趋于0。如此${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ 中的函数值才会与${\displaystyle f(t_{i})}$ 接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。

严格定义如下：${\displaystyle S}$ 是函数${\displaystyle f}$ 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上的黎曼积分，当且仅当对于任意的${\displaystyle \epsilon >0}$ ，都存在${\displaystyle \delta >0}$ ，使得对于任意的取样分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ 、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ ，只要它的子区间长度最大值${\displaystyle \lambda \leq \delta }$ ，就有：

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon .\,}$ 

也就是说，对于一个函数${\displaystyle f}$ ，如果在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数${\displaystyle f}$ 的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么${\displaystyle f}$ 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数${\displaystyle f}$ 为黎曼可积的。

这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有${\displaystyle \lambda \leq \delta }$ 的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。

另一个定义: ${\displaystyle S}$ 是函数${\displaystyle f}$ 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上的黎曼积分，当且仅当对于任意的${\displaystyle \epsilon >0}$ ，都存在一个取样分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ 、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ ，使得对于任何比其“精细”的分割${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$  and ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ ，都有：

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,}$ 

这两个定义是等价的。如果有一个${\displaystyle S}$ 满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个${\displaystyle S}$ 满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值${\displaystyle \lambda \leq \delta }$ 的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于${\displaystyle \delta }$ ，于是满足

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,}$ 

其次证明满足第二个定义的${\displaystyle S}$ 也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ 使得它的上达布和与下达布和都与${\displaystyle S}$ 相差不超过${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$ 。令${\displaystyle r}$ 等于${\displaystyle \max _{0\leq i\leq n-1}(M_{i}-m_{i})}$ ，其中${\displaystyle M_{i}}$ 和${\displaystyle m_{i}}$ 是${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ 上的上确界和下确界。再令${\displaystyle \delta }$ 是${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2rn}}}$ 和${\displaystyle \min _{0\leq i\leq n-1}(x_{i+1}-x_{i})}$ 中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于${\displaystyle \delta }$ 时，${\displaystyle f}$ 关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$ ，所以和${\displaystyle S}$ 至多相差${\displaystyle \epsilon }$ 。

由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

• 线性性：黎曼积分是线性变换，也就是说，如果${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ 在区间${\displaystyle [a,b]}$ 上黎曼可积，${\displaystyle \alpha }$ 和${\displaystyle \beta }$ 是常数，则：

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$ 

由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间${\displaystyle [a,b]}$ 后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射${\displaystyle I:f\longrightarrow \int _{a}^{b}fdx}$ 是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。

• 正定性：如果函数${\displaystyle f}$ 在区间${\displaystyle [a,b]}$ 上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在${\displaystyle [a,b]}$ 上的积分也大于等于零。如果${\displaystyle f}$ 在区间${\displaystyle [a,b]}$ 上几乎处处大于等于0，并且它在${\displaystyle [a,b]}$ 上的积分等于0，那么${\displaystyle f}$ 几乎处处为0。

• 可加性：如果函数${\displaystyle f}$ 在区间${\displaystyle [a,c]}$ 和${\displaystyle [c,b]}$ 上都可积，那么${\displaystyle f}$ 在区间${\displaystyle [a,b]}$ 上也可积，并且有

${\displaystyle \int _{a}^{b}fdx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$ 

无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。

• ${\displaystyle [a,b]}$ 上的实函数${\displaystyle f}$ 是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。

• 如果${\displaystyle [a,b]}$ 上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。

• 如果${\displaystyle {f_{n}}}$ 是${\displaystyle [a,b]}$ 上的一个一致收敛序列，其极限为${\displaystyle f}$ ，那么：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.}$ 

• 如果一个实函数在区间${\displaystyle [a,b],}$ 上是单调的，则它是黎曼可积的。

黎曼积分可推广到值属于${\displaystyle n}$ 维空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的函数。积分是线性定义的，即如果${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},\dots ,f_{n})}$ ，则${\displaystyle \int \mathbf {f} =(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n})}$ 。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。

黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分（improper integral）一样。我们可以令

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{x\to \infty }\int _{-x}^{x}f(t)\,dt.}$ 

不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令${\displaystyle f(x)=1}$ 若${\displaystyle x>0}$ ，${\displaystyle f(0)=0}$ ，${\displaystyle f(x)=-1}$ 若${\displaystyle x<0}$ 。则对所有${\displaystyle x}$ 

${\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t)\,dt=\int _{-x}^{0}f(t)\,dt+\int _{0}^{x}f(t)\,dt=-x+x=0}$ .

但如果我们将${\displaystyle f(x)}$ 向右平移一个单位得到${\displaystyle f(x-1)}$ ，则对所有${\displaystyle x>1}$ ，我们得到

${\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t-1)\,dt=\int _{-x}^{1}f(t-1)\,dt+\int _{1}^{x}f(t-1)\,dt=-(x+1)+(x-1)=-2}$ .

由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(t)\,dt.}$ 

此时，如果尝试对上面的${\displaystyle f}$ 积分，我们得到${\displaystyle +\infty }$ ，因为我们先使用了极限${\displaystyle b\to \infty }$ 。如果使用相反的极限顺序，我们得到${\displaystyle -\infty }$ 。

这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令${\displaystyle f_{n}(x)=1/n}$ 在${\displaystyle [0,n]}$ 上，其它域上等于0。对所有${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle \int f_{n}\,dx=1}$ 。但${\displaystyle f_{n}}$ 一致收敛于0，因此${\displaystyle \lim f_{n}}$ 的积分是0。因此${\displaystyle \int f\,dx\not =\lim \int f_{n}\,dx}$ 。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。

一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。

事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分。

扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子${\displaystyle x_{i}-x_{i+1}}$ ，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。

• 不定积分
• 积分
• 勒贝格积分
• 黎曼－斯蒂尔杰斯积分
• 数值积分
• 达布积分
• 梯形公式
• 中点法（英语：Midpoint method）

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.