达布积分

一个闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$ 。每个闭区间${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ 叫做一个子区间。定义${\displaystyle \lambda }$  为这些子区间长度的最大值：${\displaystyle \lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})}$ ，其中${\displaystyle 0\leq i\leq n-1}$ 。

再定义取样分割。一个闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 的一个取样分割是指在进行分割${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$ 后，于每一个子区间中${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ 取出一点 ${\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}}$ 。${\displaystyle \lambda }$ 的定义同上。

精细化分割：设${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ 以及${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ 构成了闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 的一个取样分割，${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ 和${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ 是另一个分割。如果对于任意${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ，都存在${\displaystyle r(i)}$ 使得${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}$ ，并存在${\displaystyle r(i)\leq j\leq r(i+1)}$ 使得${\displaystyle t_{i}=s_{j}}$ ，那么就把分割：${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ 、${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ 称作分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ 、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ 的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

设${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$  为一个有界函数，又设

${\displaystyle P:x_{0},\ldots ,x_{n}}$ 

是闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 的一个分割。令:

${\displaystyle M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)}$ 

${\displaystyle m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)}$ 

${\displaystyle f}$ 在分割${\displaystyle P}$ 下的上达布和定义为：

${\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$ 

同样的有下达布和的定义：

${\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$ 

${\displaystyle f}$ 的上达布积分指的是所有上达布和的下确界：

${\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}:P}$ 是闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 的一个分割${\displaystyle \;\}}$ 

同样的${\displaystyle f}$ 的下达布积分指的是所有下达布和的上确界：

${\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}:P}$ 是闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 的一个分割${\displaystyle \;\}}$ 

如果${\displaystyle U_{f}=L_{f}}$ 那么${\displaystyle f}$ 就称作达布可积的，并用${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}}$ 表示，记作${\displaystyle f}$ 在区间${\displaystyle [a,b]}$ 的达布积分。

• 对于任何给定的分割，上达布和永远大于等于下达布和。此外，下达布和被限制在以${\displaystyle b-a}$ 为宽，以${\displaystyle \mathrm {inf} (f)}$ 为高的矩形下，占据${\displaystyle [a,b]}$ 。同样，上达布和被限制在以${\displaystyle b-a}$ 为宽，以${\displaystyle \mathrm {sup} (f)}$ 为高的矩形上。

${\displaystyle (b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)}$ 

• 下达布和和上达布和满足

${\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}$ 

• 对处于${\displaystyle (a,b)}$ 的任意${\displaystyle c}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$ 

• 下达布积分和上达布积分不必要是线性的。令${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow R}$ 是一个有界函数，则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\end{aligned}}}$ 

• 对于一个常数${\displaystyle c\geq 0}$ 我们有

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}}$ 

• 对于一个常数${\displaystyle c\leq 0}$ 我们有

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}}$ 

• 考虑函数${\displaystyle F:[a,b]\rightarrow R}$ 定义为

${\displaystyle F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(x)\,dx}$ 

那么${\displaystyle F}$ 是利普希茨连续的。当${\displaystyle F}$ 是用达布积分定义的，一个相似的结论也成立。

一个达布可积函数

假设我们想证明函数${\displaystyle f(x)=x}$ 在区间${\displaystyle [0,1]}$ 上是达布可积的，并且确定它的值。我们需要把区间${\displaystyle [0,1]}$ 分割为${\displaystyle n}$ 个等大的子区间，每个区间长度为${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ 。我们取${\displaystyle n}$ 个等大的子区间中一个作为${\displaystyle P_{n}}$ 。

现在因为${\displaystyle f(x)=x}$ 在${\displaystyle [0,1]}$ 上严格单增，在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点。同样，在任意一个特定子区间上的上确界即它的终点。在${\displaystyle P_{n}}$ 中第${\displaystyle k}$ 个子区间的起点是${\displaystyle {\frac {k-1}{n}}}$ ，终点是${\displaystyle {\frac {k}{n}}}$ 。那么在一个分割${\displaystyle P_{n}}$ 上的下达布和就是

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}$ 

类似地，上达布和为

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}$ 

由于

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&={\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$ 

则对于任意${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，我们得到对于${\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}$ 的任何分割${\displaystyle P_{n}}$ 都满足

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&<\epsilon \end{aligned}}}$ 

得证${\displaystyle f}$ 是达布可积的。要找到这个积分的值需要注意到

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$ 

一个不可积函数

如果我们有函数${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow R}$ 定义为

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0,x\in \mathbb {Q} \\1,x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{cases}}\end{aligned}}}$ 

由于有理数和无理数都是R的稠密子集，因而断定${\displaystyle f}$ 在任何分割的任何子区间只能取0或1。所以对于任意分割${\displaystyle P}$ 我们有

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}}$ 

从中我们可以看出上下达布和不等。

如果分割${\displaystyle P':y_{0},\ldots ,y_{m}}$ 比分割${\displaystyle P:x_{0},\ldots ,x_{n}}$ “精细”，那么有${\displaystyle U_{f,P}\geq U_{f,P'}}$  以及 ${\displaystyle L_{f,P}\leq L_{f,P'}}$ 。这是因为${\displaystyle P'}$ 实际上是将${\displaystyle P}$ 中的若干个子区间再做分割，而分割后的子区间上${\displaystyle f}$ 的上（下）确界必然比原来区间的上（下）确界小（大）。（见图）

如果${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ 是同一个区间的两个分割（不一定要一个比另一个“精细”），那么

${\displaystyle L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}}}$ .

所以，

${\displaystyle L_{f}\leq U_{f}}$ 

显然，一个分割的黎曼和一定介于对应的上达布和与下达布和之间。正规的说，如果

${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!}$ 

并且

${\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})\,\!}$ 

共同构成区间上的一个取样分割

${\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}\,\!}$ 

(正如黎曼积分的定义中那样)，对应${\displaystyle P}$ 和${\displaystyle T}$ 的黎曼和为 ${\displaystyle R}$ ，就有

${\displaystyle L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.\,\!}$ 

由上可以看出，黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价（见黎曼积分）。如果一个函数${\displaystyle f}$ 在区间${\displaystyle [a,b]}$ 的达布积分存在，那么一个对于足够精细的分割，上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0（都趋近于共同的极限），因此比其更为精细的分割，黎曼和将介于上达布和与下达布和之间，于是趋于一个极限。同时，注意到对于一个分割，我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上（下）确界（由确界的定义）。这表明如果黎曼和趋于一个定值，则上下达布和之间的差将趋于0，也就是说达布积分存在。

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