达布积分

实分析数学分析中,达布积分是一种定义一个函数的积分的方法,它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的,也就是说,一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的,并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单,并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布(Jean Gaston Darboux)。

区间的分割

一个闭区间 的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列 。每个闭区间 叫做一个子区间。定义  为这些子区间长度的最大值: ,其中 

再定义取样分割。一个闭区间 的一个取样分割是指在进行分割 后,于每一个子区间中 取出一点   的定义同上。

精细化分割:设 以及 构成了闭区间 的一个取样分割,  是另一个分割。如果对于任意 ,都存在 使得 ,并存在 使得 ,那么就把分割:  称作分割  的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。

达布和

  为一个有界函数,又设

 

是闭区间 的一个分割。令:

 
 
 
下(绿色)和上(淡紫色)达布和

 在分割 下的上达布和定义为:

 

同样的有下达布和的定义:

 

 上达布积分指的是所有上达布和的下确界

 是闭区间 的一个分割 

同样的 下达布积分指的是所有下达布和的上确界

 是闭区间 的一个分割 

如果 那么 就称作达布可积的,并用 表示,记作 在区间 的达布积分。

性质

  • 对于任何给定的分割,上达布和永远大于等于下达布和。此外,下达布和被限制在以 为宽,以 为高的矩形下,占据 。同样,上达布和被限制在以 为宽,以 为高的矩形上。
 
  • 下达布和和上达布和满足
 
  • 对处于 的任意 
 
  • 下达布积分和上达布积分不必要是线性的。令 是一个有界函数,则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系。
 
  • 对于一个常数 我们有
 
  • 对于一个常数 我们有
 
  • 考虑函数 定义为
 

那么 利普希茨连续的。当 是用达布积分定义的,一个相似的结论也成立。

例子

一个达布可积函数

假设我们想证明函数 在区间 上是达布可积的,并且确定它的值。我们需要把区间 分割为 个等大的子区间,每个区间长度为 。我们取 个等大的子区间中一个作为 

现在因为  上严格单增,在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点。同样,在任意一个特定子区间上的上确界即它的终点。在 中第 个子区间的起点是 ,终点是 。那么在一个分割 上的下达布和就是

 

类似地,上达布和为

 

由于

 

则对于任意 ,我们得到对于 的任何分割 都满足

 

得证 是达布可积的。要找到这个积分的值需要注意到

 

一个不可积函数

如果我们有函数 定义为

 

由于有理数和无理数都是R稠密子集,因而断定 在任何分割的任何子区间只能取0或1。所以对于任意分割 我们有

 

从中我们可以看出上下达布和不等。

黎曼积分的关系

 
对于更精细的分割,上达布和减小3公分,下达布和变大3公分

如果分割 比分割 “精细”,那么有  以及  。这是因为 实际上是将 中的若干个子区间再做分割,而分割后的子区间上 的上(下)确界必然比原来区间的上(下)确界小(大)。(见图)

如果 是同一个区间的两个分割(不一定要一个比另一个“精细”),那么

 .

所以,

 

显然,一个分割的黎曼和一定介于对应的上达布和与下达布和之间。正规的说,如果

 

并且

 

共同构成区间上的一个取样分割

 

(正如黎曼积分的定义中那样),对应  的黎曼和为  ,就有

 

由上可以看出,黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价(见黎曼积分)。如果一个函数 在区间 的达布积分存在,那么一个对于足够精细的分割,上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0(都趋近于共同的极限),因此比其更为精细的分割,黎曼和将介于上达布和与下达布和之间,于是趋于一个极限。同时,注意到对于一个分割,我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上(下)确界(由确界的定义)。这表明如果黎曼和趋于一个定值,则上下达布和之间的差将趋于0,也就是说达布积分存在。

参见