区间

在初等代数，传统上区间指一个集，包含在某两个特定实数之间的所有实数，亦可能包含该两个实数（或其中之一）。区间表示法是表示一个变数在某个区间内的方式。通用的区间表示法中，圆括号表示排除，方括号表示包括。例如，开区间${\displaystyle (10,20)}$ 表示所有在${\displaystyle 10}$ 和${\displaystyle 20}$ 之间的实数，但不包括${\displaystyle 10}$ 或${\displaystyle 20}$ 。另一方面，闭区间${\displaystyle [10,20]}$ 表示所有在${\displaystyle 10}$ 和${\displaystyle 20}$ 之间的实数，以及${\displaystyle 10}$ 和${\displaystyle 20}$ 。^[1]

区间的定义可以推广到任何全序集${\displaystyle T}$ 的子集${\displaystyle S}$ ，使得若${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 均属于${\displaystyle S}$ ，且${\displaystyle x<z<y}$ ，则${\displaystyle z}$ 亦属于${\displaystyle S}$ 。

特别重要的情况是当${\displaystyle T=\mathbb {R} }$ 。

${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的区间有以下十一种（${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 为实数且${\displaystyle a<b}$ ）：

1. ${\displaystyle (a,b)=\{x\mid a<x<b\}}$ 
2. ${\displaystyle [a,b]=\{x\mid a\leq x\leq b\}}$ 
3. ${\displaystyle [a,b)=\{x\mid a\leq x<b\}}$ 
4. ${\displaystyle (a,b]=\{x\mid a<x\leq b\}}$ 
5. ${\displaystyle (a,\infty )=\{x\mid x>a\}}$ 
6. ${\displaystyle [a,\infty )=\{x\mid x\geq a\}}$ 
7. ${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}}$ 
8. ${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\mid x\leq b\}}$ 
9. ${\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }$ 自身，实数集
10. ${\displaystyle [a,a]=\{a\}}$ ，即单元素集合
11. ${\displaystyle \varnothing }$ ，即空集

1、5、7称为开区间（因为它们是开集）；2、6、8、10称为闭区间（因为它们是闭集）；3、4称为半开区间、半闭区间或半开半闭区间；而9、11同时为开区间和闭区间，并非半开区间或半闭区间。

1、2、3、4、10、11为有界区间；5、6、7、8、9为无界区间；10为单点。

区间算术又称区间数学、区间分析、区间计算，在1950、60年代引进以作数值分析上计算舍去误差的工具。

${\displaystyle T\times S=\{x\mid {}}$ 属于${\displaystyle T}$ 的某些${\displaystyle y}$ ，及属于${\displaystyle S}$ 的某些${\displaystyle z}$ ，使得${\displaystyle x=y\times z\}}$ 

区间算术的基本运算是，对于实数线上的子集${\displaystyle [a,b]}$ 及${\displaystyle [c,d]}$ ：

${\displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]}$ 

${\displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]}$ 

${\displaystyle [a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]}$ 

${\displaystyle {\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]}$ 

被一个包含零的区间除，在基础区间算术上无定义。

加法和乘法符合交换律、结合律和子分配律：集${\displaystyle X(Y+Z)}$ 是${\displaystyle XY+XZ}$ 的子集。

在法国及其他一些欧洲国家，用${\displaystyle ][}$ 代替${\displaystyle ()}$ 来表示开区间，例如：

${\displaystyle \left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}}$ 

${\displaystyle \left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}}$ 

${\displaystyle \left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}}$ 

${\displaystyle \left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}}$ 

国际标准化组织编制的ISO 31-11也允许这种写法^[2]。

另外，在小数点以逗号来表示的情况下，为免产生混淆，分隔两数的逗号要用分号来代替，例如将${\displaystyle [1,2.3]}$ 写成${\displaystyle [1;2,\!3]}$ 。若只把小数点写成逗号，就会变成${\displaystyle [1,2,\!3]}$ ，此时不易判断究竟是${\displaystyle 1.2}$ 与${\displaystyle 3}$ 之间，还是${\displaystyle 1}$ 与${\displaystyle 2.3}$ 之间的闭区间。

1. ^ Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. Springer & The European Mathematical Society. [2021-05-18]. （原始内容存档于2014-12-26）. 
2. ^ ISO 31-11:1992. ISO. [2021-05-18]. （原始内容存档于2021-05-18） （英语）.