初等代数

初等代数中还会使用诸如 ${\displaystyle f(x)}$ 、${\displaystyle g(x)}$ 、${\displaystyle f(g(x))}$ 、${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$  等映射符号来表示关于某个字母符号的代数式。

* 它使得算术等式（或不等式）可以被描述成命题或定理（如：${\displaystyle \forall }$  实数 ${\displaystyle a}$  和 ${\displaystyle b}$ ，${\displaystyle a+b=b+a}$ ），因此这是系统化学习实数性质的第一步。

• 它允许涉及未知的数字。在一个问题的内容里，变量或许代表某一还不确定，但可能可以经由方程的规划及操纵来解开的数值。
• 它允许探究数量之间的数学关系的可能（如“若你卖了 ${\displaystyle x}$  张票，你的收益将有 ${\displaystyle (3x+10)}$  元”）。

这三个是初等代数的主要组成部分，以区隔其与目的为教导大学生更高深主题的抽象代数的不同。^{[原创研究？]}

在初等代数里，表示式包含有数字、变量及运算。它们通常把较高次项（习惯上）写在表示左边（参考多项式），举几个例子来说：

${\displaystyle x+3}$ 

${\displaystyle y^{2}+2x-3}$ 

${\displaystyle z^{7}+a(b+x^{3})+{\frac {42}{y}}-\pi }$ 。

在更进阶的代数里，表示式也会包含有初等函数。

一个等式表示其等号两边的表示式是相等的。某些等式对于其中变量的所有取值都成立（如 ${\displaystyle a+b=b+a}$ ）；这种等式称为恒等式。而其他只有变量在某些值时才正确（如 ${\displaystyle x^{2}-1=4}$ ），此一使等式成立的变量值则称为这等式的解。

与代数运算相关的定理 ^[1]

• 加法是一可交换的运算（两个数不论顺序为何，它加起来的总和都一样）。
  • 减法是加法的逆运算。
  • 减去一个数和加上一个此数的负数是一样意思的：

${\displaystyle a-b=a+(-b)}$ 

例如：若 ${\displaystyle 5+x=3}$  ，则 ${\displaystyle x=-2}$ 。

• 乘法是一可交换的运算。
  • 除法是乘法的逆运算。
  • 除去一个数和乘上一个此数的倒数是一样意思的：

${\displaystyle {a \over b}=a\cdot {1 \over b}}$ 

例如：若 ${\displaystyle 3x=2}$  ，则 ${\displaystyle x={\frac {2}{3}}}$ 。

• 幂不是一可交换的运算。
  • 但幂却有两个逆运算：对数 和 开方（如平方根）。
    • 例如：若 ${\displaystyle 3^{x}=10}$ ，则 ${\displaystyle x=\log _{3}10}$ 。
    • 例如：若 ${\displaystyle x^{2}=10}$ ，则 ${\displaystyle x={\sqrt {10}}_{\mathbb {C} }}$ ，即 ${\displaystyle x_{1}={\sqrt {10}}_{\mathbb {R} }}$ ，${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {10}}_{\mathbb {R} }}$ 。
  • 负数的平方根不存在于实数内。（参考：复数）
• 加法的结合律性质：${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ 。
• 乘法的结合律性质：${\displaystyle (ab)c=a(bc).}$ 。
• 对应加法的乘法分配律性质：${\displaystyle c(a+b)=ca+cb}$ 。
• 对应乘法的幂分配律性质：${\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}}$ 。
• 幂的乘法：${\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}}$ 。
• 幂的幂：${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}}$ 。

与“等于”相关的定理

• ${\displaystyle a=a}$  （等于的自反性）。
• 若 ${\displaystyle a=b}$ ，则 ${\displaystyle b=a}$  （等于的对称性）。
• 若 ${\displaystyle a=b}$  且 ${\displaystyle b=c}$ ，则 ${\displaystyle a=c}$  （等于的传递律）。
• 若 ${\displaystyle a-b=n}$ ，则 ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=na+nb}$ 。

其他定理

• 若 ${\displaystyle a=b}$  且 ${\displaystyle c=d}$ ，则 ${\displaystyle a+c=b+d}$ 。
  • 若 ${\displaystyle a=b}$ ，则对任一 c，${\displaystyle a+c=b+c}$ （等于的可加性）。
• 若 ${\displaystyle a=b}$  且 ${\displaystyle c=d}$ ，则 ${\displaystyle ac}$  = ${\displaystyle bd}$ 。
  • 若 ${\displaystyle a=b}$ ，则对任一 c，${\displaystyle ac=bc}$ （等于的可乘性）。
• 若两个符号相等，则一个总是能替换另一个（替换原理）。
• 若 ${\displaystyle a>b}$  且 ${\displaystyle b>c}$ ，则 ${\displaystyle a>c}$ （不等式的传递律）。
• 若 ${\displaystyle a>b}$ ，则对任一 c，${\displaystyle a+c>b+c}$ 。
• 若 ${\displaystyle a>b}$  且 ${\displaystyle c>0}$ ，则 ${\displaystyle ac>bc}$ 。
• 若 ${\displaystyle a>b}$  且 ${\displaystyle c<0}$ ，则 ${\displaystyle ac<bc}$ 。

一元一次方程

最简单的方程为一元一次方程，它们是含有一个常数和一没有幂的变量。例如：

${\displaystyle 2x+4=12.\,}$ 

其中心解法为在等式的两边同时以相同数字做加、减、乘、除，以使变量单独留在等式的一侧。一旦变量独立了，等式的另一边即是此变量的值。例如，将上面式子两边同时减去4：

${\displaystyle 2x+4-4=12-4\,}$ ，

简化后即为

${\displaystyle 2x=8.\,}$ 

再同时除以2：

${\displaystyle {\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}\,}$ 

再简化后即为答案：

${\displaystyle x=4.\,}$ 

一般的情形

${\displaystyle ax+b=c}$ 

也可以依同样的方式得出答案来：

${\displaystyle x={\frac {c-b}{a}}}$ 

【这就是一元一次方程简单的说明】

一元二次方程

一元二次方程可以表现成 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ，在这 ${\displaystyle a}$  不等于零（假如 ${\displaystyle a}$  等于零，则此方式为一次方程式，而非二次方程式）。二次方程式必须保持二次的形态，如 ${\displaystyle ax^{2}}$ ，二次方程式可以通过因式分解求解（多项式展开的逆过程），或者一般地使用二次方程求根公式。因式分解的举例：

${\displaystyle x^{2}+3x=0.\,}$ 

这相当于

${\displaystyle x(x+3)=0.\,}$ 

0 和 -3 是它的解，因为把 ${\displaystyle x}$  置为 0 或 -3 便使上述等式成立。 所有二次方程式在复数体系中都有两个解，但是在实数系统中却不一定，例如：

${\displaystyle x^{2}+1=0\,}$ 

没有实数解，因为没有实数的平方是 -1。 有时一个二次方程式会有2重根，例如：

${\displaystyle (x+1)^{2}=0.\,}$ 

在这个方程中，-1是2重根。

线性方程组

在线性方程组内，如两个变量的方程组内有两个方程式的话，通常可以找出可同时满足两个方程式的两个变量。

下面为线性方程组的一个例子，有两个求解的方法：

${\displaystyle 4x+2y=14\,}$ 

${\displaystyle 2x-y=1.\,}$ 

求解的第一种方法

将第2个等式的左右项各乘以2，

${\displaystyle 4x+2y=14\,}$ 

${\displaystyle 4x-2y=2.\,}$ 

再将两式相加，

${\displaystyle \,8x=16,}$ 

上式可化简为

${\displaystyle x=2.\,}$ 

因为已知${\displaystyle x=2}$ ，于是就可以由两式中的任意一个推断出${\displaystyle y=3}$ 。所以这个问题的完整解为

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,}$ 

注意：这并不是解这类特殊情况的唯一方法；${\displaystyle y}$  也可以在 ${\displaystyle x}$  之前求得。

求解的第二种方法

另一种求解的方法为替代。

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,}$ 

${\displaystyle y}$  的等值可以由两个方程式中的其中一种推出。我们使用第二个方程：

${\displaystyle 2x-y=1\,}$ 

由方程的两边减去 ${\displaystyle 2x}$ ：

${\displaystyle 2x-2x-y=1-2x\,}$ 

${\displaystyle -y=1-2x\,}$ 

再乘上 -1：

${\displaystyle y=2x-1.\,}$ 

将此 ${\displaystyle y}$  值放入原方程组的第一个方程式：

${\displaystyle 4x+2(2x-1)=14\,}$ 

${\displaystyle 4x+4x-2=14\,}$ 

${\displaystyle 8x-2=14\,}$ 

在方程的两端加上 2：

${\displaystyle 8x-2+2=14+2\,}$ 

${\displaystyle 8x=16\,}$ 

此可简化成

${\displaystyle x=2\,}$ 。

将此值代回两个方程式中的一个，可求得和上一个方法所求得的相同解答。

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,}$ 

注意：这并不是解这类特殊情况的唯一方法；在这个方法里也是一样的，${\displaystyle y}$  也可以在 ${\displaystyle x}$  之前求得。

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• Charles Smith, A Treatise on Algebra（页面存档备份，存于互联网档案馆）, in Cornell University Library Historical Math Monographs（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Beginning Algebra Tutorials and Reviews for basic algebra review and practice..
• Feferman, Anita Burdman and Solomon Feferman (1990) "Alfred Tarski- Life and Logic." Cambridge University Press. p.74-76. 编辑
  1. ^ Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra Library of Congress. p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.