一元二次方程

一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。

例如， $x^{2}-3x+2=2$ ， $\left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0$ ， $t^{2}-3=0$ 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是：

ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)

其中，

ax^{2}

是二次项，

bx

是一次项，

c

是常数项。

a\neq 0

是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，

a\neq 0

也可以省略不写。当然，一元二次方程式有时会出现虚数根。

历史

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代数方程，它同时容许有正负数的根。

11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方根。

将其转化为数学语言：解关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx=-c$

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即^[1] $4a$ ，得

4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac

　　在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即

b^{2}

，得

4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}

然后在方程的两边同时开二次方根，得

2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}

解法

阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

一般来说，一元二次方程有两个解，答案需提供两个不同的数值，只要符合 $a\neq 0$ 的原则就可以了。

因式分解法

把一个一元二次方程变形成一般形式 $ax^{2}+bx+c=0$ 后，如果 $ax^{2}+bx+c=0$ 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 存在两个实根 $x_{1},x_{2}$ ，那么它可以因式分解为 $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ 。

例如，解一元二次方程 $x^{2}-3x+2=0$ 时，可将原方程左边分解成

\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0

所以

x-1=0\quad x-2=0

可解得

x_{1}=1\quad x_{2}=2

公式解法

对于 $ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)$ ，它的根可以表示为：

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}

当

c\neq 0

时也写成

x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}

公式解的证明

公式解可以由配方法得出。

首先先将一元二次方程的一般形式 $ax^{2}+bx+c=0$ 除以 $a$ （ $a$ 在一元二次方程中不为零），将会得到

x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0

即

x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}

现在可以开始配方了。为了配方，必须要加上一个常数（在这个例子里，它是指一个不随

x

而变的量）到等式的左边，使等式左边有完全平方

x^{2}+2xy+y^{2}

的样子。

当 $2xy={\frac {b}{a}}x$ 时得到

y={\frac {b}{2a}}

亦即当式子的两边加上

y^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}

将得到：

x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}

式子的左边变成了一个完全平方了。并且可以看出是

\left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)

的平方。式子的右边则可以通分成一个分数，因此式子变成了：

\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}

接下来，对式子的两边开根号：

\left|x+{\frac {b}{2a}}\right|={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{|2a|}}\Leftrightarrow x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}

最后，式子两边同时减去

{\frac {b}{2a}}

则得公式解：

x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}

一般化

一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

公式中的根式

{\sqrt {b^{2}-4ac}}

应该理解为“如果存在的话，两个自乘后为

b^{2}-4ac

的数当中任何一个”。在某些数域中，有些数值没有平方根。

根的判别式

对于实系数一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$ ， $\Delta =b^{2}-4ac$ 称作一元二次方程根的判别式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

如果 $\Delta >0$ ，则这个一元二次方程有两个不同的实数根。如果系数都为有理数，且 $\Delta$ 是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根至少有一个是无理数。

如果 $\Delta =0$ ，则这个一元二次方程有两个相等的实数根。而且这两个根皆为 $x=-{\frac {b}{2a}}$

如果 $\Delta <0$ ，则这个一元二次方程有两个不同的复数根，两根互为共轭复数。这时根为 ${\begin{aligned}x&={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\x&={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\\end{aligned}}$ 其中 ${\begin{aligned}i^{2}&=-1\end{aligned}}$

非实系数一元二次方程

即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。

根与系数

根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与方程中系数的关系。

x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}

x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}

图像解法

{\color {Red}{}\Delta >0}

，则该函数与x轴相交（有两个交点）

{\color {Blue}{}\Delta =0}

，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）

{\color {Green}{}\Delta <0}

，则该函数与x轴相离（没有交点）

一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 的根的几何意义是二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 的图像（为一条抛物线）与 $x$ 轴交点的x坐标。

ax^{2}+bx+c=0

的解是

y=x^{2}

和

y=-{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}

交点的X坐标

另外一种解法是把一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 化为 $x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}$ 的形式。

则方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 的根，就是函数 $y=x^{2}$ 和 $y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}$ 交点的X坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据下面的公式去解

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}

可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)

外部链接

101 uses of a quadratic equation: Part I （页面存档备份，存于互联网档案馆），Part II （页面存档备份，存于互联网档案馆）

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