配方法

在基本代数中，配方法是一种用来把二次函数化为一个多项式的平方与一个常数的和的方法。这种方法是把以下的多项式

配方法通常用来推导出二次方程的求根公式：

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&{}=0\\ax^{2}+bx&{}=-c\\x^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)x&{}=-{\frac {c}{a}}\\\end{aligned}}}$ 

我们的目的是要把方程的左边化为完全平方。由于问题中的完全平方具有${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$ 的形式，可导出${\displaystyle 2xy={\frac {b}{a}}x}$ ，因此${\displaystyle y={\frac {b}{2a}}}$ 。等式两边加上${\displaystyle y^{2}=({\frac {b}{2a}})^{2}}$ ，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}&{}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&{}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&{}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\x&{}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}$ 

这个表达式称为二次方程的求根公式。

考虑把以下的方程配方：

如果尝试把矩形${\displaystyle x^{2}}$  和两个${\displaystyle {\frac {b}{2}}\,x}$ 合并成一个更大的正方形，这个正方形还会缺一个角。把以上方程的两端加上${\displaystyle \left({\frac {b}{2}}\right)^{2}}$ ，正好是欠缺的角的面积，这就是“配方法”的名称的由来。

为了得到${\displaystyle ax^{2}+bx=(cx+d)^{2}+e,\,}$ 我们设

${\displaystyle {\begin{aligned}c&{}={\sqrt {a}},\\d&{}={\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\\e&{}=-d^{2}\\&{}=-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\\&{}=-{\frac {b^{2}}{4a}}.\end{aligned}}}$ 

得出${\displaystyle ax^{2}+bx=\left({\sqrt {a}}\,x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}.\,}$ 

证明

注意${\displaystyle \left(cx+d\right)^{2}+e=c^{2}x^{2}+2cdx+d^{2}+e}$ 。为了把${\displaystyle c^{2}x^{2}+2cdx+d^{2}+e\!}$ 化为 ${\displaystyle ax^{2}+bx+f\!}$  的形式，我们必须进行以下的代换：

${\displaystyle {\begin{aligned}a&{}=c^{2},\\b&{}=2cd,\\f&{}=d^{2}+e.\end{aligned}}}$ 

现在，${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 和${\displaystyle f}$ 依赖于${\displaystyle c}$ 、${\displaystyle d}$ 和${\displaystyle e}$ ，因此我们可以把${\displaystyle c}$ 、${\displaystyle d}$ 和${\displaystyle e}$ 用${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 和${\displaystyle f}$ 来表示：

${\displaystyle {\begin{aligned}c&{}=\pm {\sqrt {a}},\\d&{}={\frac {b}{2c}}\\&{}=\pm {\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\\e&{}=f-d^{2}\\&{}=f-{\frac {b^{2}}{4a}}\end{aligned}}}$ 

当且仅当${\displaystyle f}$ 等于零且${\displaystyle a}$ 是正数时，这些方程与以上是等价的。如果${\displaystyle a}$ 是负数，那么${\displaystyle c}$ 和${\displaystyle d}$ 的表达式中的±号都表示负号──然而，如果${\displaystyle c}$ 和${\displaystyle d}$ 都是负数的话，那么${\displaystyle (cx+d)^{2}}$ 的值将不受影响，因此${\displaystyle \pm }$ 号是不需要的。

具体例子

${\displaystyle {\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x\right)-6\\&{}=5\left[x^{2}+{7 \over 5}x+\left({7 \over 10}\right)^{2}\right]-6-5\left({7 \over 10}\right)^{2}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-6-{7^{2} \over 2\cdot 10}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{6\cdot 20+7^{2} \over 20}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{169 \over 20}\end{aligned}}}$ 

从中我们可以求出多项式为零时${\displaystyle x}$ 的值，也就是多项式的根。

${\displaystyle {\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=0\\5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{169 \over 20}&{}=0\\\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}&{}={169 \over 100}\\&{}=\left({13 \over 10}\right)^{2}\\x+{7 \over 10}&{}=\pm {13 \over 10}\\x&{}={-7\pm 13 \over 10}\\&{}={3 \over 5}{\mbox{ or }}-2\end{aligned}}}$ 

我们也可以求出${\displaystyle x}$ 取得什么值时，以下的多项式为最大值或最小值：

微积分例子

假设我们要求出以下函数的原函数：

${\displaystyle {\begin{aligned}9(x^{2}-10x)+241&{}=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)\\&{}=9(x-5)^{2}+16\end{aligned}}}$ 

因此积分为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{9x^{2}-90x+241}}\,dx&{}={\frac {1}{9}}\int {\frac {1}{(x-5)^{2}+({\frac {4}{3}})^{2}}}\,dx\\&{}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C\end{aligned}}}$ 

复数例子

考虑以下的表达式：

${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}\end{aligned}}}$ 

作为另外一个例子，以下的表达式

${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$ 

因此

通常配方法是把第三项${\displaystyle v^{2}}$ 加在${\displaystyle u^{2}+2uv\,}$ ，得出一个平方。我们也可以把中间的项（${\displaystyle 2uv}$ 或${\displaystyle -2uv}$ ）加在多项式${\displaystyle u^{2}+v^{2}\,}$ 就得出一个平方。

例子：正数与它的倒数的和

从以下的恒等式中，

${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$ 

我们可以看出，正数${\displaystyle x}$ 与它的倒数的和总是大于或等于 2。

例子：分解四次多项式

假设我们要把以下的四次多项式分解：

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$ 

最后一个步骤是把所有的项按降幂方式排列。

• 《初中代数41讲》，贾士代主编，首都师范大学出版社，ISBN 7-81039-028-7，第49-55页。
• 《华罗庚学校数学课本（初一年级）》，刘彭芝主编，中国大百科全书出版社，编辑
  • Completing the square. PlanetMath. 
  • 用配方法来解二次方程：WebGraphing.com