二次方程

二次方程是一种整式方程,主要特点是未知项的最高次数是2,其中最常见的是一元二次方程[1]

一元二次方程

方程的一般形式

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程,它的一般形式为: ,其中   为方程的二次项, 为方程的二次项系数 为一次项, 为一次项系数; 常数项。若 ,则该方程没有二次项,即退变为一元一次方程

求根公式

 
 
 
 

一元二次方程根的判别式为 

 ,则该方程有两个不相等的实数根:  

 ,则该方程有两个相等的实数根:  

 ,则该方程有一对共轭复数根:  

由上可知,在实数范围内求解一元二次方程,当 时,方程才有根(有两个不等实数根或两个相等实数根);当 时,方程有两个复数根,但是在实数范围无解。

根与系数的关系

  是一元二次方程    )的两根,则

两根之和: 

两根之积: 

求根公式的由来

中亚细亚花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式,并把方程的未知数叫做“根”,其后译成拉丁文radix

我们通常把   称之为   的求根公式:

 

或不将 系数化为1:

 

对应函数的极值

  ),
 求导,得

 

 ,得

 

即为  极值点,该式亦为函数图形(即抛物线)的对称轴方程。 将   代入  ,可得

 

即为   的极值。

根据函数取极值的充分条件,即:
   极大值点
   极小值点
 ,可知:
 时(抛物线开口向下),  的极大值点;
 时(抛物线开口向上),  的极小值点。

参见

参考

  1. ^ 一般二次方程的讨论. [2012-12-29]. (原始内容存档于2019-07-24). 页面存档备份,存于互联网档案馆