性质
不等具有下列性质:
- 三分律:
- 对任意实数 、 ,只有下列之一是真的:
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- 调换性质:
- 对任意实数 、 :
- 和 是等价的。
- 和 是等价的。
- 传递性:
- 对任意实数 、 、 :
- 如果 且 ,则 。
- 如果 且 ,则 。
- 如果 且 ,则 。
- 如果 且 ,则 。
- 如果 且 ,则 。
- 加法性质:
- 对任意实数 、 、 :
- 若 ;则 。
- 若 ;则 。
- 乘法性质:
- 对任意实数 、 、 ,且有 :
- 若 为 正数 且 ;则 。
- 若 为 正数 且 ;则 。
- 若 为 负数 且 ;则 。
- 若 为 负数 且 ;则 。
注意:当遇上不等关系求解时,比如已知 , ,不可以认为 ,但根据此描述可知 是真的。
链式表示法
- 代表“ 且 ”。
- 代表“ 且 ”。
- 代表“ 且 ”。
- 代表“ 且 ”。
举例
- 若 ;则
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- 若 ;则
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- 若 ;则
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- 若 ;则
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- 若 ;则
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- 若 ;则
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- 若 ;则
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- 若 ;则
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对于实数 、 、 、 ,若 且 ;则
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证明
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(10) [前提]
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(15) [前提]
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(20) 源自 (10)
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(25) 源自 (15)
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(20) 及 (25) 经由传递性质可以得到
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(30) 源自 (20) (25)
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(35) 源自 (30)
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(40) 源自 (35) [结论]
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- 对于实数 、 、 、 ,若 且 ;则
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(45) [前提]
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(50) [前提]
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(55) 源自 (50)
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(60) 源自 (55)
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(45) 及 (60) 经由此描述可以得到
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(65) 源自 (45) (60)
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(70) 源自 (65) [结论]
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参见