狄利克雷判别法

狄利克雷判别法（Dirichlet test）是一个级数审敛法，以数学家约翰·彼得·狄利克雷命名。

无穷级数
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
无穷级数
审敛法 项测试 · 比较判别法 · 极限比较检验法 ·根值审敛法 · 达朗贝尔判别法 · 柯西判别法 · 柯西并项判别法 · 拉比判别法 · 高斯判别法 · 积分判别法 · 魏尔施特拉斯判别法 · 贝特朗判别法 · 狄利克雷判别法 · 阿贝尔判别法 · 库默尔判别法 · 斯托尔兹－切萨罗定理 · 迪尼判别法 级数 调和级数 · p-级数 · 幂级数 · 泰勒级数 · 傅里叶级数
查 论 编

给定两个实数级数${\displaystyle \{a_{n}\}}$和${\displaystyle \{b_{n}\}}$，如果级数满足

• ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}>0}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$对于所有正整数N

其中M是某个常数，那么级数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

收敛。

狄利克雷判别法的一个推论，是更加常用的交错级数判别法：

${\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}\Rightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1}$。

另外一个推论是当${\displaystyle \{a_{n}\}}$是一个趋于零的递减数列时，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n}$ 收敛。