傅里叶级数

傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶(1768年–1830年)，他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家如拉格朗日等已经找到了一些非周期函数的三角级数展开，而认定一个函数有三角级数展开之后，通过积分方法计算其系数的公式，欧拉、达朗贝尔和克莱罗早已发现，傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助^[1]。

傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文虽经拉克尔华（法语：Sylvestre_François_Lacroix）、加斯帕尔·蒙日同意^[2]，但在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他的现在被称为傅里叶逆转定理（英语：Fourier inversion theorem）的理论后来发表于1820年的《热的解析理论》（热的传播，Théorie analytique de la chaleur，Analytical theory of heat）中。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。

傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

现在，让我们考虑一个函数${\textstyle s(x)}$  ，其中${\textstyle x\in \mathbb {R} }$ ，且${\textstyle s(x)}$  在 长度为 ${\displaystyle P}$ 的区间上可积。一些常见的可积区间为:

${\displaystyle x\in [0,1]}$ ，${\displaystyle P=1}$ 

${\displaystyle x\in [-\pi ,\pi ]}$ ,${\displaystyle P=2\pi }$ 

我们将用${\displaystyle \sin(x)}$ 与${\displaystyle \cos(x)}$ 的无穷级数来表示 ${\textstyle s(x)}$ 。事实上，整个分析的过程就是一个权重的表现，由${\displaystyle N}$ 阶的谐波${\displaystyle \sin({\frac {2\pi nx}{P}})}$ 还有${\displaystyle \cos({\frac {2\pi nx}{P}})}$ 搭配上彼此在这个函数${\textstyle s(x)}$  中的权重来实现用三角级数来表示整个${\textstyle s(x)}$  ，其中${\displaystyle N}$ 阶谐波在函数中的权重可以借由在区间上的积分来获取，其中上述的权重就是所谓的傅里叶系数:

我们可以从部分和开始

普遍来说N是理论上趋近于无限大的，但是就算趋近于无限大，对所有的x(例如在某一点上不连续)，傅里叶级数也不一定收敛到${\textstyle s(x)}$  。

我们还可以利用三角恒等式，去把后面的正弦函数跟余弦函数合并起来

${\displaystyle A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right),}$ 

然后定义${\displaystyle A_{n}\triangleq {\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}}$ 还有${\displaystyle \varphi _{n}\triangleq \operatorname {arctan2} (b_{n},a_{n})}$ 

然后我们习惯将普遍化${\textstyle s(x)}$ 到整个复数上，借由欧拉公式去分开余弦函数变成指数的形式表示。

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}&{}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}\\&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (+n)x}{P}}}&{}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (-n)x}{P}}}.\end{array}}}$ 

因此，根据定义，我们可以得到:

${\displaystyle {\hat {s}}_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0}/2&=a_{0}/2,\quad &n=0\\{\tfrac {A_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),\quad &n>0\\{\hat {s}}_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}\quad =\quad {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx,}$ 

而最后的结论是

复数函数

如果${\textstyle s(x)}$ 是一个复数函数，其中实部跟虚部都是实值函数，其中${\textstyle x\in \mathbb {R} }$ ，二者都可以被表示为傅里叶级数，那实部跟虚部的系数还有部分和可以被表示为:

${\displaystyle c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx}$  还有 ${\displaystyle c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx}$ 

${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}+i\cdot \sum _{n=-N}^{N}c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}=\sum _{n=-N}^{N}\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.}$ 

然后定义${\displaystyle c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}}$ 

这与 Eq.4相同，但是如果说 ${\displaystyle c_{n}}$  还有 ${\displaystyle c_{-n}}$  不再继续复数共轭. 关于 ${\displaystyle c_{n}}$  的公式一样没有变化:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\\[4pt]&={\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\operatorname {Re} \{s(x)\}+i\cdot \operatorname {Im} \{s(x)\}\right)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\ =\ {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx.\end{aligned}}}$ 

傅里叶级数的唯一性

如果有一个定义在${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ 的函数${\displaystyle f(x)}$ 和${\displaystyle g(x)}$ ,其中函数${\displaystyle f(x)}$ 和${\displaystyle g(x)}$ 的傅里叶系数${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$ 还有${\displaystyle {\hat {g}}(n)}$ 相同，且傅里叶级数都收敛到函数本身，那么可以证明此傅里叶级数具有唯一性，也就是${\displaystyle f(x)=g(x)}$ 。换句话说，如果函数${\displaystyle f(x)}$ 在${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ 上可积，傅里叶系数${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$ 为0，对所有的${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，那么函数${\displaystyle f(x)=0}$ 

卷积

主条目：卷积

卷积的观念在傅里叶分析中扮演了重要的角色，所以说了解卷积是必要的。

假设${\displaystyle f(x)}$ 还有${\displaystyle g(x)}$ 在${\textstyle \mathbb {R} }$ 上可积的函数，定义${\displaystyle f(x)}$ 还有${\displaystyle g(x)}$ 在${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ 上的卷积${\displaystyle (f*g)(x)}$ 为:

${\displaystyle (f*g)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)g(x-y)dy}$  我们也可以借由变量变换去得到 ${\displaystyle (f*g)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-y)g(y)dy}$ 

至于关于卷积的性质，可以参阅条目卷积

然后当我们在考虑一个函数${\displaystyle f(x)}$ 的傅里叶级数的部分和，我们可以将其表示为${\displaystyle f(x)}$ 跟${\displaystyle D_{N}(x)}$ 的卷积，其中${\displaystyle D_{N}(x)}$ 为狄利克雷核。

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{N}(f)(x)&=\sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{inx}\\&=\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}dy\cdot e^{inx}\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)(\sum _{n=-N}^{N}e^{-in(y-x)})dy\\&=(f*D_{N})(x)\end{aligned}}}$ 

这个范例可以让我们看到，研究函数的傅里叶级数的部分和就是由研究函数跟狄利克雷核的卷积。

微分性质

我们说${\displaystyle f(x)}$ 属于在${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$  ${\displaystyle \Rightarrow }$  如果${\displaystyle f(x)}$ 是一个在实数上以${\displaystyle 2\pi }$ 为周期的函数，且${\displaystyle k}$ 次可微而且${\displaystyle k}$ 阶连续。

• 如果${\displaystyle f(x)}$ 属于在${\displaystyle C^{1}(\mathbb {T} )}$ ，那么${\displaystyle f'(x)}$ 傅里叶系数${\displaystyle {\hat {f'}}(n)}$ 可以被用${\displaystyle f(x)}$ 傅里叶系数${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$ 的表示，借由公式${\displaystyle {\hat {f'}}(n)=in{\hat {f}}(n)}$ 

• 如果${\displaystyle f(x)}$ 属于在${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$ ，${\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)=(in)^{k}{\hat {f}}(n)}$ 。特别的，当固定${\displaystyle k\geq 1}$ ，我们有${\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)}$ 趋近于0当${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ，且有${\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)=O(1/n^{k})}$ 。

黎曼-勒贝格引理

如果函数${\displaystyle f(x)}$ 可积，那么便有${\displaystyle \lim _{|n|\to \infty }{\hat {f}}(n)=0}$ 

Parseval's定理

如果函数${\displaystyle f(x)}$ 属于在${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ 之中，那么便有${\displaystyle \sum _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}dx=||f||}$ 

Plancherel 定理

概要

${\displaystyle s_{N}(x)}$   在 ${\displaystyle [x_{0},\ x_{0}+P]}$  近似了 ${\displaystyle s(x)}$  ，该近似程度会随着 N → ∞ 逐渐改善。这个无穷和 ${\displaystyle s_{\infty }(x)}$  叫做 ${\displaystyle s}$  的傅里叶级数表示。在工程应用中，一般假定傅里叶级数除了在不连续点以外处处收敛，原因是工程上遇到的函数比数学家提供的这个假定的反例表现更加良好。特别地，傅里叶级数绝对收敛且一致收敛于 s(x)，只要在 s(x) 的导数（或许不会处处存在）是平方可积的。^[3]  如果一个函数在区间 [x₀, x₀+P]上是平方可积的，那么此傅里叶级数在几乎所有点都收敛于该函数。傅里叶级数的收敛性取决于函数有限数量的极大值和极小值，这就是通常称为傅里叶级数的狄利克雷条件。参见傅里叶级数的收敛性（英语：Convergence of Fourier series）之一。对于广义函数或分布也可以用范数或弱收敛（英语：Weak convergence (Hilbert space)）定义傅里叶系数.

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  一个相同幅度和频率的锯齿波的近似的可视化

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  另一个分别采用傅里叶级数的前 1, 2, 3, 4 项近似方波的可视化。（可以在这里 （页面存档备份，存于互联网档案馆）看到一个交互式的动画）

傅里叶级数收敛

假设一个函数在${\displaystyle f(x)}$ 在${\displaystyle [0,2\pi ]}$ 上是平方可积，则会有:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(x)-S_{N}(f)(x)|^{2}dx\rightarrow 0}$  当${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ 

证明:

第一步:

考虑一系列正交基底，${\displaystyle \{e_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$ ，其中${\displaystyle e_{n}(x)=e^{-inx}}$ ，且有

${\displaystyle (e_{n},e_{m})={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=m\\0,&{\text{if }}n\neq m\end{cases}}}$ 

然后有${\displaystyle (f,e_{n})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)e^{-inx}dx={\hat {f}}(n)}$ 

特别的有，${\displaystyle f(x)}$ 的傅里叶级数的部分和${\displaystyle S_{N}(f)(x)=\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}}$ 

然后根据${\displaystyle f=f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}+\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}}$  以及勾股定理，可以有:

${\displaystyle ||f||^{2}=||f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}}$  替换一下后有 ${\displaystyle ||f||^{2}=||f-S_{N}(f)(x)||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}}$ 

如果右边第一项收敛到0，再根据正交的性质，可以看出上述式子中的右手边第二项:

${\displaystyle ||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}=\sum _{|n|\leq N}|{\hat {f}}(n)|^{2}}$ ，这就证明了Parseval's定理。

接下来第二步:

回到证明右边第一项，因为函数${\displaystyle f(x)}$ 可积，找到一个连续函数${\displaystyle g(x)}$ ，然后根据Best approximation lemma，可以找到一个三角多项式p(x)，使得

${\displaystyle |f-S_{N}(f)(x)|\leq |f(x)-g(x)|+|g(x)-S_{N}(f)(x)|}$ 

故当${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ ，函数${\displaystyle f(x)}$ 跟${\displaystyle S_{N}(f)(x)}$ 的差为0

例1：一个简单的傅里叶级数

我们现在用上面的公式给出一个简单函数的傅里叶级数展开式。考虑一个锯齿波

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}$ 

${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\infty <x<\infty {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$ 

在这种情况下，傅里叶级数为

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\b_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$ 

可以证明，当 s 可微时，傅立叶级数在每个点 x 都收敛于 s(x)，于是：

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbf {Z} .\end{aligned}}}$

(Eq.1)

当 x = π 时，傅里叶级数收敛于 0，为在 x = π 处 s 的左极限和右极限之和的一半。这是傅里叶级数的狄利克雷定理的特例。

这个例子为我们引出了巴塞尔问题的一种解法。

例2：傅里叶诱导

例1中我们的函数的傅里叶级数展开式看起来不比 s(x) = x/π 简单，因此人们需要傅里叶级数的原因也就不会立即显现出来。但还有很多应用，我们举用傅里叶诱导解热方程式的例子。考虑边长为 π 米的方形金属版，坐标为 (x, y) ∈ [0, π] × [0, π]。如果板内没有热源，并且四个边中三个都保持在 0 摄氏度，而第四条边 y = π，对于 x 属于 (0, π)，保持在温度梯度 T(x, π) = x 摄氏度，于是可以证明稳态热分布（或者说在很长一段时间过去后的热分布）为

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$ 

这里，sinh 为双曲正弦函数。热方程的这个解是通过将 Eq.1 的每一项乘以 sinh(ny)/sinh(nπ) 得到的。我们示例的函数 s(x) 的傅里叶级数似乎很复杂，热分布 T(x, y) 是非平凡的。函数 T 不能写成解析解。用傅里叶的方法却可以求解这个热分布问题。

其他例子

我们也可以应用傅里叶级数去证明等周不等式，或是构造处处连续处处不可微的函数。

希尔伯特空间的解读

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。

在希尔伯特空间释义下，函数的集合{e_n = e^inx; n ∈ Z}是[−π, π]平方可积函数L²([−π, π])的正交基。这个空间实际上是一个希尔伯特空间，有着针对任何两个的元素f和g的如下内积:

${\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.}$ 

三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,\,}$ 

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$ 

(这里的δ_mn是克罗内克函数)，而

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx=0;\,}$ 

至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：

1. 在定义区间上，x(t)须绝对可积；
2. 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；
3. 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

满足以上条件的x(t)傅里叶级数都收敛，且：

1.当t是x(t)的连续点时，级数收敛于x(t)；

2.当t是x(t)的间断点时，级数收敛于${\displaystyle {\frac {1}{2}}[x(t^{-})+x(t^{+})]}$ .

1966年，里纳特·卡尔松证明了勒贝格二次可积函数的傅立叶级数一定是几乎处处收敛的，即级数在除了一个勒贝格零测集外均收敛。

吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

• 离散时间傅里叶级数
• 傅里叶变换
• 维尔斯特拉斯逼近定理

引用

来源

• 电机电子类科《工程数学》，ISBN 978-957-584-377-9，作者 陈锡冠、曾致煌，高立出版社。