狄利克雷定理

狄利克雷定理表明：

若 ${\displaystyle r,N}$  互质，则${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x;N,r)}{\pi (x)}}={\frac {1}{\phi (N)}}}$ 

其中，${\displaystyle \phi (N)}$ 为欧拉函数，${\displaystyle \pi (x)}$ 为质数计数函数，${\displaystyle \pi (x;N,r)}$ 为模${\displaystyle N}$ 同余${\displaystyle r}$ 集合中小于${\displaystyle x}$ 的质数个数。

质数在同余类中的分布

狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。

形象地说，在模${\displaystyle N}$ 同余类中，除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合，质数的分布是大致均匀的。

• 以${\displaystyle N=6}$ 为例：共有${\displaystyle [0],[1],[2],[3],[4],[5]}$ 共${\displaystyle 6}$ 个模${\displaystyle N}$ 同余集合，其中同余集合${\displaystyle [0],[2],[3],[4]}$ 不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合${\displaystyle [1],[5]}$ 中：

在不大于${\displaystyle 10,000}$ 的质数中，质数在${\displaystyle [1],[5]}$ 中的比率分别为${\displaystyle 49.67\%}$ 和${\displaystyle 50.16\%}$ ；

在不大于${\displaystyle 100,000}$ 的质数中，质数在${\displaystyle [1],[5]}$ 中的比率分别为${\displaystyle 49.88\%}$ 和${\displaystyle 50.10\%}$ ；

在不大于${\displaystyle 1,000,000}$ 的质数中，质数在${\displaystyle [1],[5]}$ 中的比率分别为${\displaystyle 49.98\%}$ 和${\displaystyle 50.02\%}$ 。

• 以${\displaystyle N=8}$ 为例：共有${\displaystyle [0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]}$ 共${\displaystyle 8}$ 个模${\displaystyle N}$ 同余集合，其中同余集合${\displaystyle [0],[2],[4],[6]}$ 不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合${\displaystyle [1],[3],[5],[7]}$ 中：

不大于${\displaystyle 10,000}$ 的质数中，质数在${\displaystyle [1],[3],[5],[7]}$ 中的比率分别为${\displaystyle 23.98\%,25.28\%,25.53\%}$ 和${\displaystyle 25.12\%}$ ；

在不大于${\displaystyle 100,000}$ 的质数中，质数在${\displaystyle [1],[3],[5],[7]}$ 中的比率分别为${\displaystyle 24.85\%,25.12\%,25.01\%}$ 和${\displaystyle 25.01\%}$ ；

在不大于${\displaystyle 1,000,000}$ 的质数中，质数在${\displaystyle [1],[3],[5],[7]}$ 中的比率分别为${\displaystyle 24.91\%,25.04\%,25.00\%}$ 和${\displaystyle 25.06\%}$ ；

• 欧几里得证明了有无限个质数，即有无限多个质数的形式如${\displaystyle 2n+1}$ 。
• 算术级数的质数定理：若${\displaystyle a,d}$ 互质，则有

${\displaystyle \sum _{p\leq x\quad p\equiv a{\pmod {d}}}1\sim {\frac {1}{\phi (d)}}{\frac {x}{\ln(x)}}}$ 。

其中φ是欧拉函数。取${\displaystyle d=2}$ ，可得一般的质数定理。

• 林尼克定理说明了级数中最小的质数的范围：算术级数${\displaystyle a+nd}$ 中最小的质数少于${\displaystyle cd^{L}}$ ，其中${\displaystyle L}$ 和${\displaystyle c}$ 均为常数，但这两个常数的最小值尚未找到。
• 柴伯塔瑞夫密度定理（英语：Chebotarev's density theorem）是在狄利克雷定理在伽罗瓦扩张的推广。

欧拉曾以${\displaystyle \sum {\frac {1}{p}}=\infty }$ ，来证明质数有无限个。约翰·彼得·狄利克雷得以灵感，借助证明${\displaystyle \sum _{p\equiv a{\pmod {d}}}{1/p}=\infty }$ 来证明算术级数中有无限个质数。这个定理的证明中引入了狄利克雷L函数，应用了一些解析数学的技巧，是解析数论的重要里程碑。

这个定理的一些推广形式，但是都还只是未被证明的猜想而已，并不是定理。

• 布尼亚科夫斯基猜想，推广至>=2次的多项式
• 狄克森猜想，推广至>=2个多项式
• 欣策尔假设H（英语：Schinzel's hypothesis H），上述两个推广合并

• T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7