狄利克雷L函数

• 若 ${\displaystyle \chi }$  是原特征，${\displaystyle \chi (-1)=1}$ ，则 ${\displaystyle L(s,\chi )}$  在 ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)<0}$  的零点是负偶数。
• 若 ${\displaystyle \chi }$  是原特征，${\displaystyle \chi (-1)=-1}$ ，则 ${\displaystyle L(s,\chi )}$  在 ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)<0}$  的零点是负奇数。

不论可能的西格尔零点，狄利克雷L函数有与黎曼ζ函数相似的无零点区域，包括 ${\displaystyle \{s:\mathrm {Re} (s)\geq 1\}}$ 。一如黎曼ζ函数，狄利克雷L函数也有相应的广义黎曼猜想。

假设 ${\displaystyle \chi }$  是模 ${\displaystyle k}$  的原特征。定义

${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),}$ 

此处 ${\displaystyle \Gamma }$  表Γ函数，而符号 ${\displaystyle a}$  由下式给出

${\displaystyle a={\begin{cases}0,&\quad \chi (-1)=1,\\1,&\quad \chi (-1)=-1,\end{cases}}}$ 

则有函数方程

${\displaystyle \Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ).}$ 

此处的 ${\displaystyle \tau (\chi )}$  表高斯和

${\displaystyle \sum _{n=1}^k\chi (n)\exp (2\pi in/k).}${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).}  

我们亦有 ${\displaystyle |\tau (\chi )|=k^{\frac {1}{2}}}$ 。

• H. Davenport. Multiplicative Number Theory. Springer. 2000. ISBN 0-387-95097-4.