函数方程此条目没有列出任何参考或来源。 (2016年6月9日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。函数方程是含有未知函数的方程。函数方程可以有一个解,可以无解,也可以有多个解,甚至可以有无穷多个解。 例子 函数方程 ζ ( s ) = 2 s π s − 1 sin ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)} 的解是黎曼ζ函数。函数方程 Γ ( x ) = Γ ( x + 1 ) x {\displaystyle \Gamma (x)={\Gamma (x+1) \over x}\,\!} 的解是伽玛函数。函数方程 Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin ( π z ) {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!} 的解是伽玛函数。 更多例子: f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) , {\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),\,\!} 的解是所有指数函数。 f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)\,\!} 的解是所有对数函数。 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!} (柯西函数方程) F ( a z ) = a F ( z ) ( 1 − ( z ) ) {\displaystyle F(az)=aF(z)(1-(z))\,\!} (庞加莱方程) f ( ( x + y ) / 2 ) = ( f ( x ) + f ( y ) ) / 2 {\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!} (琴生) g ( x + y ) + g ( x − y ) = 2 g ( x ) g ( y ) {\displaystyle g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)\,\!} (达朗贝尔) f ( h ( x ) ) = f ( x ) + 1 {\displaystyle f(h(x))=f(x)+1\,\!} (阿贝尔方程(英语:Abel equation))。解函数方程 函数方程与代数方程、微分方程不同,并没有普遍的解法。所以这个分支也没能发展起来。如上述的解为Gamma函数和初等函数的方程的解法完全不同。 对于二元函数方程,对其变量赋予特殊值的做法较多。 例子:解函数方程 f ( x + y ) 2 = f ( x ) 2 + f ( y ) 2 {\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}} 。 设 x = y = 0 {\displaystyle x=y=0} : f ( 0 ) 2 = f ( 0 ) 2 + f ( 0 ) 2 {\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}} 。所以 f ( 0 ) 2 = 0 {\displaystyle f(0)^{2}=0} , f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} 。 现在,设 y = − x {\displaystyle y=-x} : f ( x − x ) 2 = f ( x ) 2 + f ( − x ) 2 {\displaystyle f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}} f ( 0 ) 2 = f ( x ) 2 + f ( − x ) 2 {\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}} 0 = f ( x ) 2 + f ( − x ) 2 {\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}} 由于实数的平方非负,以及两个非负数的和为零当且仅当两个数都为零,因此对于所有x, f ( x ) 2 = 0 {\displaystyle f(x)^{2}=0} ,所以 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 是唯一的解。 相关条目 贝尔曼方程 动态规划 隐函数 函数方程 (L函数)(英语:Functional equation (L-function))