黎曼ζ函数

奥里斯姆

ζ函数最早出现于1350年左右，尼克尔·奥里斯姆发现了调和级数发散，即： ${\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...\to \infty }$ 

奥里斯姆对调和级数发散的“证明”

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (1)&=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+...\\&=1+{\frac {1}{2}}+({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}})+({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}})+...\\&\geq 1+{\frac {1}{2}}+({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}})+({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}})+...\\&=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+...\\&\to \infty \\\end{aligned}}}$

欧拉

之后的一次进展来自莱昂哈德·欧拉，他给出了调和级数呈对数发散。

欧拉对调和级数发散速度的证明[3]

为了求出调和级数的部分和，使用欧拉-麦克劳林求和公式（当然，亦可使用阿贝尔求和公式）： ${\displaystyle \sum _{y<n\leq x}f(n)=\int _{y}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{y}^{x}(t-\left\lfloor t\right\rfloor )f'(t)\,\mathrm {d} t+f(x)(\left\lfloor x\right\rfloor -x)-f(y)(\left\lfloor y\right\rfloor -y)}$  ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}{\frac {1}{n}}&=1+\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{1}^{x}{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+{\frac {\left\lfloor x\right\rfloor -x}{x}}\\&=1+\ln x-\int _{1}^{x}{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\mathrm {O} \left({\frac {1}{x}}\right)\\&=1+\ln x-\int _{1}^{\infty }{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\int _{x}^{\infty }{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\mathrm {O} \left({\frac {1}{x}}\right)\\&=\ln x+1-\int _{1}^{\infty }{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\int _{x}^{\infty }{\frac {\left\{t\right\}}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\mathrm {O} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\end{aligned}}}$  注意到其中的 ${\displaystyle 1-\int _{1}^{\infty }{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t}$  是一个常数。实际上，这就是欧拉-马斯刻若尼常数γ 再考虑剩下的一个积分，也就是${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\left\{t\right\}}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t}$  由于被积项非负，又有${\displaystyle \left\{t\right\}\leq 1}$ ，于是 ${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\left\{t\right\}}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t\leq \int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{x}}}$  最终得到 ${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {1}{n}}=\ln x+\gamma +\mathrm {O} ({\frac {1}{x}})}$

除此之外，他还在1735年给出了巴塞尔问题的解答，得到
${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ 
的结果。欧拉最初的证明可以在巴塞尔问题#欧拉的错误证明中看到，然而那是他的第一个证明，因而广为人知。
事实上，那个证明虽有不严谨之处，但是欧拉仍然有自己的严格证明。^[4]

欧拉对${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\end{smallmatrix}}}$ 的严格证明

下面将写出欧拉对上式的证明中缺失的严格论证的部分，即对连乘积公式的证明部分，而不涉及最终的系数比较 首先考虑当n为奇数时，将${\displaystyle z^{n}-a^{n}}$  分解为连乘积形式。 事实上，容易发现上式的全部复根为 ${\displaystyle a,ae^{2\pi i{\frac {1}{n}}},ae^{2\pi i{\frac {2}{n}}},...,ae^{2\pi i{\frac {n-1}{n}}}}$  由于n为奇数，所以可以将除了z=a外的其他根及其共轭一一配对，即   将共轭的根一一配对 ${\displaystyle ae^{2\pi i{\frac {k}{n}}},ae^{2\pi i{\frac {n-k}{n}}}=ae^{-2\pi i{\frac {k}{n}}}}$  看做一对， 则通过二次方程的韦达定理可以还原出每对根的最小多项式： 按照韦达定理，有 ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {a_{1}}{a_{0}}}=ae^{2\pi i{\frac {k}{n}}}+ae^{-2\pi i{\frac {k}{n}}}=\cos \left(2\pi {\frac {k}{n}}\right)+\cos \left(-2\pi {\frac {k}{n}}\right)=2\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)}$  ${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {a_{2}}{a_{0}}}=ae^{2\pi i{\frac {k}{n}}}ae^{-2\pi i{\frac {k}{n}}}=a^{2}}$  由于最小多项式首项系数为1，故 ${\displaystyle a_{0}=1}$  ，由此得到这对根最小多项式为 ${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{1}z+a_{2}=z^{2}-2\cos \left({\tfrac {2\pi k}{n}}\right)z+a^{2}}$  注意到k的取值上限为 ${\displaystyle {\tfrac {n-1}{2}}}$  ，将每一对根的最小多项式相乘， 还有z=a这个根的最小多项式 ${\displaystyle z-a}$  ，乘在一起，得到 ${\displaystyle z^{n}-a^{n}=(z-a)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left(z^{2}-2az\cos {\frac {2k\pi }{n}}+a^{2}\right)}$  令 ${\displaystyle z=1+{\frac {x}{N}},a=1-{\frac {x}{N}},N=n}$  ，代入上式，有： ${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{N}&=\left[\left(1+{\frac {x}{N}}\right)-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)\right]\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[\left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{2}-2\left(1+{\frac {x}{N}}\right)\left(1-{\frac {x}{N}}\right)\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)+\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {2x}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[2+{\frac {2x^{2}}{N^{2}}}-2\left(1-{\frac {x^{2}}{N^{2}}}\right)\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)\right]\\&={\frac {2x}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[{2+{\frac {2{x^{2}}}{N^{2}}}-2\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)+{\frac {2{x^{2}}}{N^{2}}}\cos({\frac {2\pi k}{N}})}\right]\\&={\frac {4x}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left({(1-\cos({\frac {2\pi k}{N}}))+(1+\cos({\frac {2\pi k}{N}})){\frac {x^{2}}{N^{2}}}}\right)\\&={\frac {4x}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left\{\left[1-\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)\right]\left[{1+{\frac {1+\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)}{1-\cos({\frac {2\pi k}{N}})}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}}\right]\right\}\\\end{aligned}}}$  此时，上述乘积中的 ${\displaystyle {\frac {4}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}(1-\cos({\frac {2\pi k}{N}}))}$  仅和N有关，记作 ${\displaystyle C(N)}$  ，上式变为 ${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{N}={C(N)}x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left({1+{\frac {1+\cos({\frac {2\pi k}{N}})}{1-\cos({\frac {2\pi k}{N}})}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}}\right)}$  而利用二项式定理，将等式左边展开： ${\displaystyle {(1+{\frac {x}{N}})^{N}}=\sum _{k=0}^{N}{C_{N}^{k}{\frac {x^{k}}{N^{k}}}}}$  ${\displaystyle {(1-{\frac {x}{N}})^{N}}=\sum _{k=0}^{N}{{{(-1)}^{k}}C_{N}^{k}{\frac {x^{k}}{N^{k}}}}}$  两式相减，考虑一次项，为${\displaystyle C_{N}^{1}{\frac {x}{N}}-(-1)C_{N}^{1}{\frac {x}{N}}=2C_{N}^{1}{\frac {x}{N}}=2x}$  这正是等式的左边的一次项 而等式右边的一次项只能是连乘积中的全部1与连乘积外的C(n)x相乘，为使两边相等，必须有 ${\displaystyle C(N)=2}$  ，于是上式变为 ${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{N}=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left({1+{\frac {1+\cos({\frac {2\pi k}{N}})}{1-\cos({\frac {2\pi k}{N}})}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}}\right)}$  另一方面，令 ${\displaystyle \theta ={\frac {2\pi k}{N}}}$  ，有 ${\displaystyle \cos(\theta )=1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} (\theta ^{3})}$  于是，代入上式，得到 ${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{N}&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[1+{\frac {1+\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)}{1-\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}\right]\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left\{1+{\frac {1+\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)\right]}{1-\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)\right]}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}\right\}\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[1+{\frac {2-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)}{{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}\right]\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left(1+{\frac {\left(4-\theta ^{2}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)\right)x^{2}}{\left(\theta ^{2}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)\right)N^{2}}}\right)\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left(1+{\frac {\left(4-\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{2}+\mathrm {O} \left(\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{3}\right)\right)x^{2}}{\left(\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{2}+\mathrm {O} \left(\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{3}\right)\right)N^{2}}}\right)\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left(1+{\frac {\left(4-\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{2}+\mathrm {O} \left(\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{3}\right)\right)x^{2}}{(2k\pi )^{2}+\mathrm {O} \left({\frac {(2k\pi )^{3}}{N}}\right)}}\right)\end{aligned}}}$  令N→∞，则右端大O符号的诸项都变为无穷小。另一方面，左端可写为： ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }(1+{\frac {x}{N}})^{N}-(1-{\frac {x}{N}})^{N}=e^{x}-e^{-x}}$  于是上式变为 ${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}-e^{-x}&=2x\prod _{k=1}^{\infty }\left({1+{\frac {(4+o(1)){x^{2}}}{{{(2k\pi )}^{2}}+o(1)}}}\right)\ \\&=2x\prod _{k=1}^{\infty }\left({1+{\frac {(1+o(1)){x^{2}}}{{k^{2}}{\pi ^{2}}+o(1)}}}\right)\ \\&=2x\prod _{k=1}^{\infty }\left({1+{\frac {x^{2}}{{k^{2}}{\pi ^{2}}}}}\right)\ \\\end{aligned}}}$  此时，只需比较左右两端展开式的三次项系数，即可得出结果。 对左式进行级数展开，可得：${\displaystyle e^{x}-e^{-x}=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}-x^{k}}{k!}}}$  其中当${\displaystyle k=3}$  时可提取左式的三次项为${\displaystyle {\frac {2x^{3}}{3!}}}$ 。 同时展开右式可得右式的三次项为 ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)x^{3}}$  由于等式左右端相等，所以左右式三次项系数必须相等, 因此可得： ${\displaystyle {\frac {2}{3!}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{k^{2}\pi ^{2}}}}$  化简可得：${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\zeta \left(2\right)}$

欧拉在1737年还发现了欧拉乘积公式：
${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}(1-{\frac {1}{p^{s}}})^{-1}}$ 
这是ζ函数与素数的联系的朦胧征兆，其证明可以在证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中看到。
通过这条公式，容易证明当 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)>1\end{smallmatrix}}}$  时，${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)>0\end{smallmatrix}}}$ 

1749年，欧拉通过大胆的计算发现了(以下公式当中存在定义域谬误，后由黎曼透过解析延拓证明以下公式只适用于 Re(s) > 1)^[5]
${\displaystyle \zeta (-1)=1+2+3+4+5+...=-{\frac {1}{12}}}$ 
${\displaystyle \zeta (-2)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+...=0}$ 
${\displaystyle \zeta (-3)=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+...={\frac {1}{120}}}$ 
发现ζ(s)与ζ(1-s)之间存在某些关系。

黎曼

将欧拉所做的一切牢牢地置于坚石之上的是黎曼，他在1859年的论文论小于给定数值的素数个数（英语：On_the_Number_of_Primes_Less_Than_a_Given_Magnitude）以及未发表的手稿中做出了多项进展：^[6]

• 第一积分表示： ${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$ 
• 完备化的ζ，即黎曼ξ函数： ${\displaystyle \xi (s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$  ，满足函数方程 ${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)}$ 
• 第二积分表示： ${\displaystyle \varphi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-\pi n^{2}x}}$  ，则 ${\displaystyle \xi (s)=\int _{0}^{\infty }\varphi (x)x^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} x}$ 
• 黎曼 - 冯·曼戈尔特公式（英语：Riemann–von Mangoldt formula）：以${\displaystyle {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}}$ 表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量，则 ${\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+\mathrm {O} (\log T)}$ 
• 黎曼猜想：ζ函数的所有非平凡零点的实部非常有可能均为${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}}$ 

• 第三积分表示： ${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{2\pi i}}\Gamma (1-s)\oint _{\gamma }{\frac {{z^{s-1}}{e^{z}}}{1-{e^{z}}}}\,\mathrm {d} z}$  ，其中围道γ逆时针环绕负实轴

• 黎曼-西格尔公式：给出计算ξ函数的数值的方法
• 零点的计算：计算了虚部介于0与100的所有零点的数值
• 素数的分布公式：引入黎曼素数计数函数，给出了它与ζ函数的关系

阿达马与普森

1896年，雅克·阿达马与普森几乎同时地证明了${\displaystyle \begin{array}{c}\zeta (s)\end{array}}${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}  的所有非平凡零点的实部均小于1，即${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)=1\end{smallmatrix}}}$ 上无非平凡零点，从而完成了素数定理的证明。

希尔伯特

1900年，希尔伯特在巴黎的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23道最重要的数学问题，黎曼假设在其中作为第8题出现。
之后，希尔伯特提出了希尔伯特－波利亚猜想，具体时间及场合未知。

玻尔与兰道

1942年，阿特勒·塞尔伯格更进一步，证明了存在常数T，使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为${\displaystyle {\begin{smallmatrix}KT\log T\end{smallmatrix}}}$ ，这意味着ζ函数在临界线上的非平凡零点在所有零点中占有一个正密度，而临界线${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)={\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}}$ 对于临界带${\displaystyle {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {Re} (s)<1\end{smallmatrix}}}$ 的测度为0。

ζ函数原本定义在右半平面${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} s>1\end{smallmatrix}}}$ 上，并且在此区域内为全纯函数

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$  ${\displaystyle (\operatorname {Re} s>1)}$ 

解析延拓后在全局具有积分表达式

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{2\pi i}}\Gamma (1-s)\oint _{\gamma }{\frac {{z^{s-1}}{e^{z}}}{1-{e^{z}}}}\,\mathrm {d} z}$ 

满足函数方程

${\displaystyle \zeta (1-s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma (s)\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\zeta (s)}$ 

特别地，如果考虑正规化的ζ，即黎曼ξ函数

${\displaystyle \xi (s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$ 

那么它满足函数方程

${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)}$ 

黎曼ζ函数可看做是具有如下形式的级数的一个特例：

${\displaystyle \operatorname {F} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$ 

这种类型的级数被称作狄利克雷级数。当f为狄利克雷特征时，又称作狄利克雷L函数，也有与黎曼猜想相应的广义黎曼猜想

为了方便对数论函数作讨论，此处引入狄利克雷卷积 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}f*g\end{smallmatrix}}}$ ：
${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{{\text{pq}}=n}f(p)g(q)}$ 

设 ${\displaystyle \operatorname {F} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$  ， ${\displaystyle \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}}$ 
于是显然 ${\displaystyle \operatorname {F} (s)\operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}}$ 

并不直觉？请看证明

事实上， ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} (s)\operatorname {G} (s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {g(m)}{m^{s}}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {f(n)g(m)}{(nm)^{s}}}\\\end{aligned}}}$  为了处理两个求和号，将所有可能的m与n的积相同的项合并，不妨设mn=k，那么 ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {f(n)g(m)}{(nm)^{s}}}&=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{{\text{mn}}=k}{\frac {f(m)g(n)}{(mn)^{s}}}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{{\text{mn}}=k}{\frac {f(m)g(n)}{k^{s}}}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }(\sum _{{\text{mn}}=k}f(m)g(n))k^{-s}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }(f*g)(k)k^{-s}\\\end{aligned}}}$

于是，如果数论函数${\displaystyle {\begin{smallmatrix}h=1*g\end{smallmatrix}}}$ ，亦即 ${\displaystyle h(n)=\sum _{d\|n}g(d)}$  (此时，${\displaystyle {\begin{smallmatrix}h(n)\end{smallmatrix}}}$ 与${\displaystyle {\begin{smallmatrix}g(d)\end{smallmatrix}}}$ 可通过默比乌斯反演公式相互转换)
那么 ${\displaystyle \operatorname {H} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {h(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}}$ 
通常两侧的求和有一个是相对简单的函数，或是和${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}$ 直接相关的函数
如果对${\displaystyle {\begin{smallmatrix}g(n)\end{smallmatrix}}}$ 的求和较简单，可以将${\displaystyle {\begin{smallmatrix}h(n)\end{smallmatrix}}}$ 与${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}$ 相联系，反之可以将${\displaystyle {\begin{smallmatrix}g(n)\end{smallmatrix}}}$ 与${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}$ 相联系
即 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}={\frac {\operatorname {H} (s)}{\zeta (s)}}}$  ，
如下表所示：

ζ函数与数论函数存在的联系可以通过佩龙公式转化为它和数论函数的求和的关系：设

${\displaystyle G(s)={\sum _{n=1}^{\infty }}g(n)}$ 

则由佩龙公式，

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}'g(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }G(z){\frac {x^{z}}{z}}\,\mathrm {d} z}$ 

其中右上角的'表示如果x是整数，那么求和的最后一项要乘以${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}}$ 。
这样做的其中一个结果就是ζ函数和素数分布的关系。

欧拉乘积

此函数和素数的关系已由欧拉所揭示：

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$ 

这是一个延展到所有的素数p的无穷乘积，被称为欧拉乘积。这是几何级数的公式和算术基本定理的一个结果。
如果对上式取对数，则可得到

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{p}p^{-ns}}$ 

上式的证明过程

首先留意到 ${\displaystyle \log ab=\log a+\log b}$  ，由此，可以将乘积转化为求和 ${\displaystyle {\begin{aligned}\log \zeta (s)&=\log \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\\&=\sum _{p}\log {\frac {1}{1-p^{-s}}}\\&=-\sum _{p}\log(1-p^{-s})\\&{\overset {\underset {\mathrm {t=p^{-s}} }{}}{=}}-\sum _{p}\log(1-t)\\\end{aligned}}}$  将其中的 ${\displaystyle \log(1-t)}$  展开为幂级数，得到 ${\displaystyle {\begin{aligned}-\sum _{p}\log(1-t)&=-\sum _{p}\sum _{n=1}^{\infty }-{\frac {t^{n}}{n}}\\&=\sum _{p}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{p}{\frac {t^{n}}{n}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{p}t^{n}\\&{\overset {\underset {\mathrm {p^{-s}=t} }{}}{=}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{p}p^{-ns}\\\end{aligned}}}$

更进一步的联系

黎曼阶梯素数计数函数

可以使用黎曼素数计数函数${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}}$ 建立${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}$ 与素数分布的进一步联系，这也是黎曼在他的论文论小于给定数值的素数个数（英语：On_the_Number_of_Primes_Less_Than_a_Given_Magnitude）中使用的函数，定义如下：

${\displaystyle \operatorname {J} (x)=\sum _{n\leq x}\kappa (n)}$ 

其中${\displaystyle \kappa (n)={\begin{cases}{\frac {1}{k}}&n=p^{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}$ 
那么可以建立${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}}$ 与${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}$ 的零点ρ的联系，称为黎曼显式公式（英语：Explicit formulae (L-function)）

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {J} (x)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\log \zeta (s){\frac {x^{s}}{s}}\,\mathrm {d} s\\&=\operatorname {Li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {Li} (x^{\rho })+\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t(t^{2}-1)\log(t)}}\,\mathrm {d} x-\log 2\\\end{aligned}}}$ 

黎曼显式公式（英语：Explicit formulae (L-function)）的证明

实际上，由J(x)的定义同样有:${\displaystyle \operatorname {J} (x)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}\pi (x^{\frac {1}{m}})}$  为使用Mellin 变换，将J(x)乘以${\displaystyle {\begin{smallmatrix}x^{-s-1}\end{smallmatrix}}}$ 后对x积分，得到 ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\operatorname {J} (x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}\int _{1}^{\infty }\pi \left(x^{\frac {1}{m}}\right)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x\\&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}\sum _{p}\int _{p^{m}}^{\infty }x^{-s-1}\,\mathrm {d} x\\&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}\sum _{p}{\frac {1}{s}}p^{-ms}\\\end{aligned}}}$  注意到 ${\displaystyle {\frac {\log \zeta (s)}{s}}={\frac {1}{s}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}\sum _{p}p^{-ms}}$  与上式相同 即 ${\displaystyle {\frac {\log \zeta (s)}{s}}=\int _{0}^{\infty }\operatorname {J} (x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x}$  在此处使用Mellin变换后，得到 ${\displaystyle \operatorname {J} (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\log \zeta (s)}{s}}x^{s}\,\mathrm {d} s}$  ${\displaystyle (c>1)}$  再将阿达马乘积公式代入，逐项积分即得所求

而${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}}$ 与${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\pi (x)\end{smallmatrix}}}$ 的联系可以通过莫比乌斯反演公式完成。
${\displaystyle \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {J} (x)=\operatorname {J} (x)+\mathrm {O} ({\sqrt {x}}\log \log x)}$ 
然而${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}}$ 的表达式过于复杂，如下的切比雪夫函数（英语：Chebyshev function）更为常用。

切比雪夫函数

第一切比雪夫函数${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\vartheta (x)\end{smallmatrix}}}$ 定义为

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$ 

而更常用的第二切比雪夫函数${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}}$ 定义为

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \log p}$ 

其中，如前文定义的 ${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&n=p^{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}$ 
第二切比雪夫函数与第一切比雪夫函数的关系，可看做“等同于”黎曼素数计数函数与素数计数函数的关系。
第二切比雪夫函数${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}}$ 与${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}$ 的零点ρ有如下的联系

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}{\frac {x^{s}}{s}}\,\mathrm {d} s\\&=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {1}{2}}\log(1-{\frac {1}{x^{2}}})-\log(2\pi )\\\end{aligned}}}$ 

而${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}}$ 与${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}}$ 的联系可以通过阿贝尔求和公式：

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=p^{k}\leq x}\log p=\psi (x)=\sum _{n=p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}\log n=\sum _{n\leq x}{\frac {\kappa (n)}{\log n}}}$ 

其中κ如前文所定义，则由阿贝尔求和公式

${\displaystyle \operatorname {J} (x)=\sum _{n\leq x}\kappa (n)={\frac {\psi (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)}{t^{2}\log t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\psi (x)}{\log x}}+\mathrm {O} ({\frac {x}{\log ^{2}x}})}$ 

解析延拓之后的ζ函数具有零点，他们分别是分布有序的平凡零点（所有负偶数），以及临界带${\displaystyle {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {Re} s<1\end{smallmatrix}}}$ 内的非平凡零点。
以${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}}$ 表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量，则${\displaystyle {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}}$ 遵循黎曼 - 冯·曼戈尔特公式（英语：Riemann–von Mangoldt formula）：${\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+\mathrm {O} (\log T)}$ 。

ζ函数满足如下函数方程：

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}$