留数

亚纯函数${\displaystyle f}$ 在孤立奇点${\displaystyle a}$ 的留数，通常记为${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)}$ 或${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)}$ ，是使${\displaystyle f(z)-R/(z-a)}$ 在穿孔圆盘${\displaystyle 0<|z-a|<\delta }$ 内具有解析原函数的唯一值${\displaystyle R}$ 。

另外，留数也可以通过求出洛朗级数展开式来计算，并且可以将留数定义为洛朗级数的系数a_-1。

留数的定义可以拓展到任意黎曼曲面上。

作为例子，考虑以下的路径积分：

${\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}$ 

其中C是围绕原点的任意(正向)简单闭曲线。

我们来计算这个积分，不用任何标准的积分定理。现在，e^z的泰勒级数是众所周知的，我们可以把这个级数代入被积表达式中。则积分变为：

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$ 

我们把1/z⁵的项代进级数中，便得到：

${\displaystyle \oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz}$ 

${\displaystyle =\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$ 

现在，积分便化为更简单的形式。由于：

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{a}}\,dz=0,\quad a\in \mathbb {Z} ,\quad a\neq 1.}$ 

因此任何不是cz⁻¹形式的项都变成了零，那么积分变为：

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}$ 

1/4!就是e^z/z⁵在z = 0的留数，记为：

${\displaystyle \mathrm {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},}$ 或${\displaystyle \mathrm {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},}$ 或${\displaystyle \mathrm {Res} (f,0).}$ 

设复平面内有一穿孔圆盘D = {z : 0 < |z − c| < R}，f是定义在D内的一个全纯函数。f在c的留数Res(f, c)是罗朗级数展开式的(z − c)⁻¹项的系数a₋₁。计算留数的值的方法有很多，具体采用那种方法取决于题目中的函数，以及奇点的性质。

根据柯西积分公式，我们有：

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$ 

其中γ是逆时针绕着c的一条闭曲线。我们可以选择γ为绕着c的一个圆，它的半径可以任意地小。

可去奇点

如果函数f在整个圆盘{ |z − c| < R }内可以延拓为全纯函数，则Res(f, c) = 0。反过来不总成立。

一阶极点

在一阶极点，留数由以下公式给出：

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$ 

设g和h在c的一个邻域内是全纯函数，h(c) = 0而g(c) ≠ 0，那么函数f(z)=g(z)/h(z)在极点c的留数为：

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {g(c)}{h'(c)}}.}$ 

较高阶极点的极限公式

更一般地，f在z = c的留数，其中c是n阶极点，由以下公式给出：

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}$ 

以上的公式对于计算低阶极点的留数是十分有用的。对于较高阶的极点，则级数展开式更加容易一些。

无穷远点的留数

一般地，无穷远点的留数是指：

${\displaystyle \mathrm {Res} (f(z),\infty )=-\mathrm {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right)}$ .

如果满足下面的条件：

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0}$ ,

则可以用下面的公式计算无穷远点的留数：

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z)}$ .

如果不满足，即

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0}$ ,

则无穷远点的留数为：

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z)}$ .

级数方法

如果函数的一部分或全部可以展开为泰勒级数或洛朗级数，则留数的计算比用其它的方法要容易得多。

1. 第一个例子，计算以下函数在奇点的留数：

${\displaystyle f(z)={\sin {z} \over z^{2}-z}}$ 

它可以用来计算一定的路径积分。这个函数表面上在z = 0处具有奇点，但如果把分母因式分解，而把函数写成：

${\displaystyle f(z)={\sin {z} \over z(z-1)}}$ 

则显然z = 0是可去奇点，因此z = 0处的留数为零。

唯一一个另外的奇点是z = 1。函数g(z)在z = a的泰勒级数为：

${\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots }$ 

因此，对于g(z) = sin z和a = 1，我们有：

${\displaystyle \sin {z}=\sin {1}+\cos {1}(z-1)+{-\sin {1}(z-1)^{2} \over 2!}+{-\cos {1}(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .}$ 

对于g(z) = 1/z和a = 1，我们有：

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .}$ 

把两个级数相乘，并除以(z − 1)，便得：

${\displaystyle {\frac {\sin {z}}{z(z-1)}}={\sin {1} \over z-1}+(\cos {1}-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin {1}}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}$ 

因此f(z)在z = 1的留数为sin 1。

2. 接下来的例子展示了运用级数展开来求留数，拉格朗日反演定理在这里发挥了重要作用。令

${\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}}$ 

为一个整函数，并令

${\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}}$ 

• 柯西积分公式
• 柯西积分定理
• 莫雷拉定理

• Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979. 
• Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).

• 埃里克·韦斯坦因. Complex Residue. MathWorld. 
• 留数的教程