洛朗级数

在数学中，复变函数f(z)的洛朗级数（英语：Laurent series），是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。洛朗级数是由皮埃尔·阿方斯·洛朗在1843年首次发表并以他命名的。卡尔·魏尔斯特拉斯可能是更早发现这个级数的人，但他1841年的论文在他死后才发表于世。^[1]

函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出：

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-c{)}^n}${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}

其中a_n是常数，由以下的曲线积分定义，它是柯西积分公式的推广：

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}.\,}$

积分路径γ是位于圆环A内的一条逆时针方向的可求长曲线，把c包围起来，在这个圆环内${\displaystyle f(z)}$是全纯的（解析的）。${\displaystyle f(z)}$的洛朗级数展开式在这个圆环内的任何地方都是正确的。在右边的图中，该环用红色显示，其内有一合适的积分路径${\displaystyle \gamma }$ 。如果我们让${\displaystyle \gamma }$是一个圆${\displaystyle |z-c|=\varrho }$ ，其中${\displaystyle r<\varrho <R}$ ，这就相当于要计算的限制到${\displaystyle \gamma }$上${\displaystyle f}$的复傅里叶系数。这些积分不随轮廓${\displaystyle \gamma }$的变形而改变是斯托克斯定理的直接结果。

在实践中，上述的积分公式可能不是计算给定的函数${\displaystyle f(z)}$系数${\displaystyle a_{n}}$最实用的方法；相反，人们常常通过拼凑已知的泰勒展开式来求出洛朗级数。因为函数的洛朗展开式只要存在就是唯一的 ，实际上在圆环中任何与${\displaystyle f(z)}$相等的，以上述形式表示的给定函数的表达式一定就是${\displaystyle f(z)}$的洛朗展开式。