可去奇点

在复分析中，一个全纯函数的可去奇点（removable singularity），有时称为装饰性奇点（cosmetic singularity）是这样的点，在此处函数表面上没有定义，但是通细致地分析，函数的定义域可以扩大到该奇点，使得延拓后的函数仍然全纯。

例如函数：

f(z)={\frac {\sin z}{z}}

对 z ≠ 0 有一个奇点 z = 0。借由定义 f(0)=1，可将此奇点消去，并得到全纯的 sinc函数。

确切地，如果 U 是复平面 C 的一个开集，a 是 U 中一点，f : U - {a} → C 是一个全纯函数，如果存在一个在 U - {a} 与 f 相等的全纯函数 g : U → C，则 a 称为 f 的一个可去奇点。如果这样的 g 存在，我们说 f 在 a 是可全纯延拓的。

黎曼定理

黎曼关于可去奇点的定理指出了何时一个奇点是可去的：

定理下列情形是等价的：

i) f可全纯延拓到a。

ii) f可连续延拓到a。

iii) 存在a的一个邻域，在它上面 f 有界。

iv) lim_{z → a}(z - a) f(z) = 0.

蕴含关系 i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) 是平凡的。为了证明 iv) ⇒ i)，我们首先回忆到一个函数在a的全纯性等价于解析，即有一个幂级数表示。定义

h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\\\end{cases}}

则

h(z)-h(a)=(z-a)(z-a)f(z),\,

这里由假设(z - a)f(z)可以视为一个D上的连续函数。换句话说，h在D上全纯从而有在a的泰勒级数：

h(z)=a_{2}(z-a)^{2}+a_{3}(z-a)^{3}+\cdots .

所以

g(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}

是f在a的全纯延拓，这就证明了先前的断言。

不像实变量函数，全纯函数有足够的刚性使得其孤立奇点可完全分类。一个全纯函数的奇点要么其实不是真正的奇点，即可去奇点，要么是如下两类居其一：

受黎曼定理启示，给定一个不可去奇点，我们可能问是否存在一个自然数 m 使得 lim_{z → a}(z - a)^m+1f(z) = 0。如果存在，a 称为 f 的一个极点，这样最小的 m 称为 a 的阶数。所以可去奇点恰好是零阶极点。一个全纯函数在极点附近一致发散到无穷远点。

如果 f 的一个孤立奇点 a 既非可去奇点也非极点，则称本性奇点。皮卡定理指出 f 将任意穿孔开邻域 U - {a} 映满整个复平面，至多少一个可能的例外点。