Sinc函数

sinc函数(英语:sinc function)是一种函数,在不同的领域它有不同的定义。数学家们用符号 表示这种函数。 sinc函数可以被定义为归一化的或者非归一化的,不过两种函数都是正弦函数单调的递减函数 1/x的乘积:

  1. 数字信号处理通信理论中,人们把归一化sinc函数定义为
    对于所有x ≠ 0
  2. 数学领域中,人们以前使用的非归一化sinc函数 (for sinus cardinalis)被定义为
    对于所有x ≠ 0
将 sinc 函数作为音频播放(2000 Hz)

在这两种情况下,当x=0时sinc函数的值被定义为以下的极限值,因此 sinc 函数是处处可解析的。

对于任何实数 a ≠ 0

非归一化sinc函数等同于归一化sinc函数,只是它的变量中没有放大系数 π 。

属性

 
Re Sinc complex plot
 
Im Sinc complex plot
 
Abs Sinc complex plot

归一化 sinc 函数的特性使得它在插值与带限函数中得到理想应用:

  • 对于   整数),  ;也就是说,它是一个插值函数
  • 函数  函数空间   形成一个带限函数的正交基,它的最大角频率是   ,也就是说最大的循环频率是  

这两个 sinc 函数的其它特性包括:

  • 非归一化 sinc 函数  ;对应于它与余弦函数的交点。也就是说,如果   的导数是 0 ,即在   有极值,那么  
  • 非归一化 sinc 是第一类零阶球贝塞尔函数 。归一化 sinc 是  
  • 非归一化 sinc 的过零点是   的非零倍数;归一化 sinc 函数      的过零点出现在非零整数。
  • 归一化 sinc 函数      的对于普通频率的连续傅里叶变换是   
 ,
其中矩形函数在 –1/2 到 1/2 之间值为 1,在其它区域值为 0。
  • 积分
 
广义积分。因为:
 

所以它不是勒贝格积分

  •  
  •  
其中  Γ函数

与狄拉克δ分布的关系

尽管不是分布,归一化 sinc 函数也可以作为 nascent δ函数(参见狄拉克δ函数)使用。

归一化 sinc 函数通过下式与δ分布 δ(x) 发生联系

 

由于等式左侧并不收敛,所以这不是普通的 limit,而是说明对于任意的紧支撑平滑函数  

 

在上面的表达式中,随着 a 趋近于 0,sinc 函数每个单元长度上的振动次数趋近于无限,然而不管 a 是什么值,这个表示通常在 ±1/(πx) 内振动。这与 δ(x) 的非正式表示有所矛盾,δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0,这表明了将δ函数作为函数而不是分布带来的问题。在吉布斯现象(Gibbs phenomenon)中也有类似的状况。

参见

参考文献

外部链接