波尔文积分

对于给定的一系列非零实数，即${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\cdots }$ ，可以给出${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\mathrm {d} x}$ 的封闭公式形式。为了计算这个公式，其中需要做的就是计算含有${\displaystyle a_{k}}$ 相关的量之和。特别的，设${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\cdots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}}$ 即由${\displaystyle \pm 1}$ 构成的${\displaystyle n}$ 元组，于是可以写成${\displaystyle b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}}$ 即有关${\displaystyle a_{k}}$ 的各种加减形式的总和，并且令${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}}$ （其结果为${\displaystyle \pm 1}$ ）。基于上述定义，可以得到该积分的值为：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2a_{0}}}\cdot C_{n}}$ 

其中：

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}\cdot n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\cdot \sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn} (b_{n})}$ 

在这里如果${\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}$ ，那么有${\displaystyle C_{n}=1}$ 。

进一步地，如果存在一个${\displaystyle n}$ 对于每个${\displaystyle k=0,\cdots ,n-1}$ 总有${\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}}$ 成立，并且有${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$ ，即${\displaystyle n}$ 为首次超过${\displaystyle a_{0}}$ 的前几项之和时的元素数量，即当${\displaystyle k=0,\cdots ,n-1}$ 时有${\displaystyle C_{k}=1}$ ，但在其他情况时：

${\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}\cdot n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}}$ 

在这里令${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}}}$ ，即当${\displaystyle n=7}$ 时${\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}}}$ ，此时${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955}$ 但是${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02}$ ，又由于${\displaystyle a_{0}=1}$ ，于是该公式成立（并且移去其中任何因子也成立）：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{13}}}{\frac {x}{13}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}}$ 

但在另一方面，则有：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{15}}}{\frac {x}{15}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\left[1-{\frac {\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}-1\right)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)^{-1}}}\right]}$ 

即与前面给出的公式的结果相同。