解析容度

复分析中,复平面紧子集K的解析容度(analytic capacity)是一个标志了上的有界解析函数可以有“多大”的数。粗略地说,解析容度测量了上的有界解析函数所组成的空间的单位球的大小。

这个概念最早由阿尔福斯在1940年代研究有界解析函数的奇点的可去性时引入。

定义

紧集 的解析容度定义为

 

其中, 表示有界解析函数 组成的集合。此外,

 

 

注意如果令 ,则有 。但是,一般来说 

对任意集合 ,定义

 

其中K取遍所有包含于A的紧集。

可去集与潘勒韦问题

设K是紧集,若对任意包含K的开集 ,集合 上的有界全纯函数都可以解析延拓到整个 上,则称K是可去集。根据黎曼可去奇点定理单点集都是可去的。这启发保罗·潘勒韦于1880年提出了一个更一般的问题:“ 的哪些子集是可去的?”

容易看出,K是可去的当且仅当 。然而,解析容度是纯复分析的概念,要得到更多的几何特性描述还有许多工作要做。

阿尔福斯函数

对紧集 ,存在唯一的极值函数,即 使得 。这个函数称为K的阿尔福斯函数

解析容度与豪斯多夫维数

 表示豪斯多夫维数 表示1维豪斯多夫测度。则 蕴含 ,而 保证了 。然而, 

 的情况要复杂得多。

长度大于0而解析容度等于0的例子

之前给出了紧集的1维豪斯多夫测度与解析容度的部分对应关系,据此可以猜想 蕴含 。然而,这个猜想是错的。A. G. Vitushkin首先给出了反例,J. Garnett又给出了简单得多的例子。后者给出的构造如下:

 是单位正方形。然后 是4个边长1/4的正方形的并,这4个小正方形分别位于 的四个角。以此类推,  个边长为 的正方形(记做 )的并,每个 位于某个 的一角。令K是所有 的交,则 ,但是 

Vitushkin猜想

 是紧集,Vitushkin猜想叙述为

 

其中 表示在方向 上的正交投影。根据上面的结果,当 时,Vitushkin猜想为真。

Guy David于1998年证明了Vitushkin猜想在  的情况。2002年,Xavier Tolsa证明了解析容度是半可数可加的(countably semiadditive)。即,存在常数 使得对紧集 (其中 是博雷尔集), 

David与Tolsa的定理合起来能推导出,当K关于 σ有限的时,Vitushkin猜想为真。可是,对于不是 σ有限的1维的K,这个猜想仍然有待解决。

参考资料

  • Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
  • Pajot, Hervé (2002). Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.
  • J. Garnett, Positive length but zero analytic capacity, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970), 696–699
  • G. David, Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
  • Dudziak, James J. (2010). Vitushkin's Conjecture for Removable Sets. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
  • Tolsa, Xavier (2014). Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory. Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.