柯西积分定理

设${\displaystyle \Omega }$ 是复平面${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的一个单连通的开子集。${\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }$ 是一个${\displaystyle \Omega }$ 上的全纯函数。设${\displaystyle \gamma }$ 是${\displaystyle \Omega }$ 内的一个分段可求长的简单闭曲线（即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线），那么：

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$ ^[1]:52

单连通条件的必要性

${\displaystyle \Omega }$ 是单连通表示${\displaystyle \Omega }$ 中没有“洞”，例如任何一个开圆盘${\displaystyle D=\{z:|z-z_{0}|<r\}}$ 都符合条件，这个条件是很重要的，考虑中央有“洞”的圆盘：${\displaystyle D_{h}=\{z:0<|z-z_{0}|<2\}}$ ，在其中取逆时针方向的单位圆路径：

${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right)}$ 

考虑函数${\displaystyle f\;:\;z\;\mapsto \;1/z}$ ，它在${\displaystyle D_{h}}$ 中是全纯函数，但它的路径积分：

${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{ie^{it} \over e^{it}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i}$ 

不等于零。这是因为函数${\displaystyle f}$ 在“洞”中有奇点。如果考虑整个圆盘${\displaystyle D_{s}=\{z:|z-z_{0}|<2\}}$ ，就会发现${\displaystyle f}$ 在圆盘中央的点上没有定义，不是全纯函数。^[2]:419

等价叙述

柯西积分定理有若干个等价的叙述。例如： 设${\displaystyle \Omega }$ 是复平面${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的一个开子集。${\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }$ 是一个定义在${\displaystyle \Omega }$ 上的函数。设${\displaystyle \gamma _{1}\;:\;[0,1]\;\rightarrow \Omega }$ 与${\displaystyle \gamma _{2}\;:\;[0,1]\;\rightarrow \Omega }$ 是${\displaystyle \Omega }$ 内的两条可求长的简单曲线，它们的起点和终点都重合：

${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0),\quad \gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1),}$ 

并且函数${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle \gamma _{1}}$ 与${\displaystyle \gamma _{2}}$ 围成的闭合区域${\displaystyle D}$ 内是全纯函数，那么函数${\displaystyle f}$ 沿这两条曲线的路径积分相同：

${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}f(z)\,dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)\,dz.}$ 

推广

除了对分段可求长的简单闭合曲线成立以外，柯西积分定理对于某些更复杂的曲线也适用。设${\displaystyle \Omega }$ 是复平面${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的一个开子集。${\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }$ 是定义在${\displaystyle \Omega }$ 上的全纯函数。无论${\displaystyle \Omega }$ 内的曲线${\displaystyle \gamma }$ 是自交还是卷绕数多于1（围着某一点转了不止一圈），只要${\displaystyle \gamma }$ 能够通过连续形变收缩为${\displaystyle \Omega }$ 内的一点，就有：

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$ ^[1]:59

以下的证明对函数有较为严格的要求，但对物理学中的应用来说已经足够。设${\displaystyle \Omega }$ 是复平面${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的一个开子集。${\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }$ 是定义在${\displaystyle \Omega }$ 上的全纯函数，${\displaystyle \gamma }$ 是${\displaystyle \Omega }$ 内的可求长的简单闭合曲线。假设${\displaystyle f}$ 的一阶偏导数也在${\displaystyle \Omega }$ 上连续，那么可以根据格林定理作出证明。具体如下：

为了便于表达，将函数${\displaystyle f}$ 写为实部函数和虚部函数：${\displaystyle f(z)=f(x+yi)=u(x+yi)+i\,v(x+yi).}$  由于${\displaystyle \displaystyle dz=dx+i\,dy}$ ，积分

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)}$ 

依据格林定理，右端的两个环路积分都可以变形为${\displaystyle \gamma }$ 围成的区域${\displaystyle D_{\gamma }}$ 上的面积分。

${\displaystyle \oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D_{\gamma }}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\;,\qquad \oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$ 

另一方面，由于${\displaystyle f}$ 是全纯函数，所以它的实部函数和虚部函数满足柯西－黎曼方程：

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}\;,\qquad {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}}$ 

所以以上的两个积分中的被积函数都是0，

${\displaystyle \iint _{D_{\gamma }}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0}$ 

${\displaystyle \iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0}$ 

因而积分也是0：

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$ ^[2]:420-421

该定理的一个直接推论，是在单连通域内全纯函数的路径积分可以用类似于微积分基本定理的方法来计算：设${\displaystyle \Omega }$ 是复平面${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的一个开子集。${\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }$ 是一个${\displaystyle \Omega }$ 上的全纯函数。函数${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle \Omega }$ 内的路径积分，只与积分的起点和终点有关，与中间经历的路径无关。假设，起点为a，则可以定义一个函数${\displaystyle F\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }$ 

${\displaystyle \forall b\in \Omega ,\;\;F(b)=\int _{\gamma _{a}^{b}}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(z)\,dz}$ 

其中的${\displaystyle \gamma _{a}^{b}}$ 可以是任何以a为起点，b为终点的分段可求长简单曲线。函数${\displaystyle F}$ 被称为${\displaystyle f}$ 的（复）原函数或反导数函数。^[2]:422

柯西积分定理与柯西积分公式是等价的。从柯西积分定理可以推导出柯西积分公式和留数定理。

• 柯西－黎曼方程
• 柯西积分公式
• 留数

脚注

参考文献

• Kaplan, W. "Integrals of Analytic Functions. Cauchy Integral Theorem." §9.8 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991.
• Knopp, K. "Cauchy's Integral Theorem." Ch. 4 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 47-60, 1996.
• Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.
• Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 363-367, 1953.
• Woods, F. S. "Integral of a Complex Function." §145 in Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, pp. 351-352, 1926.

• 埃里克·韦斯坦因. 柯西积分定理. MathWorld.