留数定理

假设${\displaystyle U}$ 是复平面上的一个单连通开子集，${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$ 是复平面上有限个点，${\displaystyle f}$ 是定义在${\displaystyle U\setminus {a_{1},\cdots ,a_{n}}}$ 的全纯函数。如果${\displaystyle \gamma }$ 是一条把${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$ 包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个${\displaystyle a_{k}}$ ，并且其起点与终点重合，那么：

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$ 

如果γ是若尔当曲线，那么I(γ, a_k) = 1，因此：

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$ 

在这里，Res(f, a_k)表示f在点a_k的留数，I(γ, a_k)表示γ关于点a_k的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点a_k的次数。如果γ依逆时针方向绕着a_k移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过a_k，卷绕数就是零。

实轴上的积分

以下的积分

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}$ 

在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等微积分计算并不容易。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为：

${\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.}$ 

由于e^itz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z² + 1为零时才具有奇点。由于z² + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

由于f(z)是

${\displaystyle {\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,\!}$	${\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\,\!}$
	${\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i}}{\frac {1}{z-i}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\,\!}$

f(z)在z = i的留数是：

${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.}$ 

根据留数定理，我们有：

${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.}$ 

路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：

${\displaystyle \int _{\mbox{straight}}+\int _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,}$ 

因此

${\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\mbox{arc}}.}$ 

如果t > 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：

${\displaystyle \int _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\leq \int _{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^{2}+1}\right|\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{|e^{itz}| \over |z^{2}+1|}\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{1 \over |z^{2}+1|}\,|dz|\leq \int _{\mbox{arc}}{1 \over a^{2}-1}\,|dz|={\frac {\pi a}{a^{2}-1}}\rightarrow 0\ {\mbox{as}}\ a\rightarrow \infty .}$ 

上述结果也可以直接由Jordan引理（英语：Jordan%27s_lemma）得到^[1]，要注意这里的半圆弧上积分随半径增长趋于0必须要${\displaystyle t>0}$ 才能成立，所以如果${\displaystyle t<0}$ 就必须考虑下半平面上的半圆弧。

因此，如果t > 0，那么：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.}$ 

类似地，如果曲线是绕过−i而不是i，那么可以证明如果t < 0，则

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},}$ 

因此我们有：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}$ 

（如果t = 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。）

无穷级数

由于${\displaystyle \pi \cot(\pi z)}$ 在${\displaystyle z}$ 为整数时皆为一阶极点，并且留数皆为${\displaystyle 1}$ ，因此可以用来计算如下所示级数：

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)}$ 

在此处令${\displaystyle f(z)=z^{-2}}$ ，并且令${\displaystyle \Gamma _{N}}$ 为${\displaystyle \left[-N-{\frac {1}{2}},N+{\frac {1}{2}}\right]^{2}}$ 的正方形正向（逆时针）围道（其中${\displaystyle N}$ 为整数），于是依留数定理：

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}{\frac {\pi \cot(\pi z)}{z^{2}}}\mathrm {d} z=\operatorname {Res} _{z=0}+{\underset {n\neq 0}{\sum _{n=-N}^{N}}}{\frac {1}{n^{2}}}}$ 

当${\displaystyle N\to \infty }$ 时，等式左侧由于${\displaystyle O(n^{-2})}$ 而趋于零；另一方面：

${\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}=1-{\frac {B_{2}z^{2}}{2!}}+\cdots =1-{\frac {z^{2}}{12}}+\cdots }$ 

其中有伯努利数${\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}}$ 。

（实际上有${\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}={\frac {\mathrm {i} z}{1-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}-{\frac {\mathrm {i} z}{2}}}$ ）因此，${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=0}=-{\frac {\pi ^{2}}{3}}}$ ，可以得出：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ 

即为巴塞尔问题的证明之一。

• 留数
• 路径积分
• 莫雷拉定理
• 傅里叶变换
• 拉普拉斯变换

• Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-085008-9 
• Mitronivić, Dragoslav; Kečkić, Jovan, The Cauchy method of residues: Theory and applications, D. Reidel Publishing Company, 1984, ISBN 90-277-1623-4 
• Lindelöf, Ernst, Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, Editions Jacques Gabay, 19051989, ISBN 2-87647-060-8 

• Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• John H. Mathews所作的留数定理教程