阿贝尔求和公式

阿贝尔求和公式是由尼尔斯·阿贝尔所发现,广泛应用于数论之中,以便用来计算级数

恒等式

 为一实数复数 是一个连续可导函数,则

 

其中 是部分和

 

而且这正是对黎曼-斯蒂尔杰斯积分运用分部积分法所得到的。

更一般情况,有

 

欧拉-马斯刻若尼常数

  ,则 ,恒等式变为

 

因此是一种可以表示欧拉-马斯刻若尼常数的方式。

黎曼ζ函数的表示

  ,则 ,故

 

公式在 时成立,并且可以用来推导狄利克雷定理,其断言,若以 表示黎曼ζ函数,则 s = 1处有留数为1的简单极点

黎曼ζ函数的倒数

  默比乌斯函数,且 ,则 ,故 梅滕斯函数,而恒等式变成

 

上式在 时成立。

参见

参考文献