齐夫定律

**齐夫定律**
	概率质量函数; 横纵坐标均为对数比例下，齐夫定律的概率质量函数的图像，其中N = 10。横坐标是指数k 。（注意，函数仅在k为整数时有定义，图上的连线不代表函数连续。）
	累积分布函数; 横纵坐标均为对数比例下，齐夫定律的累计分布函数的图像，其中N = 10。横坐标是指数k 。（注意，函数仅在k为整数时有定义，图上的连线不代表函数连续。）
参数	（实数）; （正整数）
值域
概率质量函数
累积分布函数
期望值
众数
熵
矩生成函数
特征函数

齐夫定律（英语：Zipf's law，IPA/ˈzɪf/）是由哈佛大学的语言学家乔治·金斯利·齐夫（英语：George Kingsley Zipf）于1949年发表的实验定律。它可以表述为：在自然语言的语料库里，一个单词出现的频率与它在频率表里的排名成反比。所以，频率最高的单词出现的频率大约是出现频率第二位的单词的2倍，而出现频率第二位的单词则是出现频率第四位的单词的2倍。这个定律被作为任何与幂定律概率分布有关的事物的参考。

例子

最简单的齐夫定律的例子是“1/f function”。给出一组齐夫分布的频率，按照从最常见到非常见排列，第二常见的频率是最常见频率的出现次数的½，第三常见的频率是最常见的频率的1/3，第n常见的频率是最常见频率出现次数的1/n。然而，这并不精确，因为所有的项必须出现一个整数次数，一个单词不可能出现2.5次。

在布朗语料库（英语：Brown Corpus）中，“the”、“of”、“and”是出现频率最前的三个单词，其出现的频数分别为69971次、36411次、28852次，大约占整个语料库100万个单词中的7%、3.6%、2.9%，其比例约为6：3：2。大约占整个语料库的7%（100万单词中出现69971次）。满足齐夫定律中的描述。仅仅前135个字汇就占了Brown语料库的一半。

齐夫定律是一个实验定律，而非理论定律，可以在很多非语言学排名中被观察到，例如不同国家中城市的数量、公司的规模、收入排名等。但它的起因是一个争论的焦点。齐夫定律很容易用点阵图观察，坐标分别为排名和频率的对数（log）。比如，“the”用上述表述可以描述为x = log(1), y = log（69971）的点。如果所有的点接近一条直线，那么它就遵循齐夫定律。

遵循该定律的现象

单词的出现频率：不仅适用于语料全体,也适用于单独的一篇文章
网页访问频率
城镇人口与城镇等级的关系
收入前3%的人的收入
地震震级
固体破碎时的碎片大小

参见

经验公式
词频效应

延伸阅读

主要:

George K. Zipf（1949）Human Behavior and the Principle of Least Effort. Addison-Wesley.
George K. Zipf (1935) The Psychobiology of Language. Houghton-Mifflin.（see citations at http://citeseer.ist.psu.edu/context/64879/0）

次要:

Lada Adamic. Zipf, Power-laws, and Pareto - a ranking tutorial. http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking/ranking.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Alexander Gelbukh and Grigori Sidorov (2001) "Zipf and Heaps Laws’ Coefficients Depend on Language" （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Proc. CICLing-2001, Conference on Intelligent Text Processing and Computational Linguistics, February 18–24, 2001, Mexico City. Lecture Notes in Computer Science N 2004, ISSN 0302-9743, Gabaix, Xavier. Zipf's Law for Cities: An Explanation (PDF). Quarterly Journal of Economics. August 1999, 114 (3): 739–67 [2014-02-05]. ISSN 0033-5533. doi:10.1162/003355399556133. （原始内容存档 (PDF)于2021-02-24）.
Axtell, Robert L; Zipf distribution of US firm sizes （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Science, 293, 5536, 1818, 2001, American Association for the Advancement of Science

外部链接

Steven, Strogatz. Guest Column: Math and the City. The New York Times. 2009-05-29 [2009-05-29]. （原始内容存档于2015-09-27）. —An article on Zipf's law applied to city populations
Seeing Around Corners (Artificial societies turn up Zipf's law) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
PlanetMath article on Zipf's law（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Distributions de type "fractal parabolique" dans la Nature (French, with English summary)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
An analysis of income distribution （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Zipf List of French words
Zipf list for English, French, Spanish, Italian, Swedish, Icelandic, Latin, Portuguese and Finnish from Gutenberg Project and online calculator to rank words in texts
Citations and the Zipf–Mandelbrot's law （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Zipf's Law for U.S. Cities （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Fiona Maclachlan, Wolfram Demonstrations Project.
埃里克·韦斯坦因. Zipf's Law. MathWorld.
Zipf's Law examples and modelling (1985)
Complex systems: Unzipping Zipf's law (2011) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Benford’s law, Zipf’s law, and the Pareto distribution （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Terence Tao.

概率质量函数横纵坐标均为对数比例下，齐夫定律的概率质量函数的图像，其中N = 10。横坐标是指数k 。（注意，函数仅在k为整数时有定义，图上的连线不代表函数连续。）
累积分布函数横纵坐标均为对数比例下，齐夫定律的累计分布函数的图像，其中N = 10。横坐标是指数k 。（注意，函数仅在k为整数时有定义，图上的连线不代表函数连续。）
参数	$s>0\,$ （实数） $N\in \{1,2,3\ldots \}$ （正整数）
值域	$k\in \{1,2,\ldots ,N\}$
概率质量函数	${\frac {1/k^{s}}{H_{N,s}}}$
累积分布函数	${\frac {H_{k,s}}{H_{N,s}}}$
期望值	${\frac {H_{N,s-1}}{H_{N,s}}}$
众数	$1\,$
熵	${\frac {s}{H_{N,s}}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {\ln(k)}{k^{s}}}+\ln(H_{N,s})$
矩生成函数	${\frac {1}{H_{N,s}}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{nt}}{n^{s}}}$
特征函数	${\frac {1}{H_{N,s}}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{int}}{n^{s}}}$