默比乌斯反演公式

假设对于数论函数 ${\displaystyle f(n)}$  和 ${\displaystyle F(n)}$ ，有以下关系式：

${\displaystyle F(n)=\sum _{d|n}f(d)}$ 

则将其默比乌斯反转公式定义为：

${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F\left({\frac {n}{d}}\right)}$ 

这里 ${\displaystyle \mu }$  为默比乌斯函数，定义为：

设${\displaystyle F(x)}$ 及${\displaystyle G(x)}$ 为定义在${\displaystyle [1,\infty )}$ 上的复值函数并且

${\displaystyle G(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}F\left({\frac {x}{n}}\right)}$ 

则

${\displaystyle F(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}\mu (n)G\left({\frac {x}{n}}\right)}$ 

设${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)=[n=1]}$ ，又由于${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}[{\frac {n}{d}}=1]f(d)}$ ，代入得到${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}\mu (m)f(d)}$ 。

由于${\displaystyle \sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}}$ 的限制条件其实就是${\displaystyle md\mid n}$ ，故等式可以写成：${\displaystyle f(n)=\sum _{m\mid n}\mu (m)\sum _{d\mid {\frac {n}{m}}}f(d)=\sum _{m\mid n}\mu (m)F({\frac {n}{m}})}$ 。

• 默比乌斯函数