广义黎曼猜想

黎曼猜想是数学中最重要的猜想之一，描述了黎曼ζ函数非平凡零点的分布规律。而其中黎曼ζ函数可以用各种整体L函数（global L-function）替代，由此得到黎曼猜想不同类型的推广。这些推广的猜想描述的是不同L函数非平凡零点分布的规律。许多数学家相信这些猜想是正确的。不过其中仅有部分函数域情形下的推广得到了证明。

整体L函数可以与椭圆曲线、数域（此时称为戴德金ζ函数）、马斯形式（Maass form）或狄利克雷特征（此时称为狄利克雷L函数）相联系。其中，描述戴德金ζ函数的黎曼猜想被称为扩展黎曼猜想（extended Riemann hypothesis，ERH），而描述狄利克雷L函数的黎曼猜想则被称为广义黎曼猜想（generalized Riemann hypothesis，GRH）。（也有许多数学家用“广义黎曼猜想”用作对各种整体L函数推广的总称，而非单指狄利克雷L函数下的情形。）

广义黎曼猜想

狄利克雷L函数下的广义黎曼猜想最初可能是由皮尔茨（Piltz）于1884年提出的。与原始的黎曼猜想类似，该猜想对研究素数分布十分重要。

如查一个已知的狄利克雷特征χ，可以定义如下狄利克雷L函数

L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}

其中，s为实部大于1的所有复数。这一函数可以解析延拓为整个复平面上的亚纯函数。广义黎曼猜想即是指，狄利克雷L函数L(χ,s)的所有非平凡零点的实部都为1/2。

当对所有n都有χ(n) = 1时，广义黎曼猜想退化为普通的黎曼猜想。

扩展黎曼猜想

假设K为数域（有理数域的有限次代数扩张域），O_K为K的整数环，a为O_K的理想，Na则为非零理想的绝对范数。于是可以定义K上的戴德金ζ函数

\zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}

其中，s为实部大于1的所有复数。求和运算对O_K的所有非零理想a进行。

这一函数也可以解析延宕到整个复平面上。扩展黎曼猜想是指，戴德金ζ函数ζ_K(s)的所有非平凡零点的实部都为1/2。

当数域K取有理数域Q，其整数环则为Z时，扩展黎曼猜想退化为普通的黎曼猜想。

参考文献

Hazewinkel, Michiel (编), Riemann hypothesis, generalized, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4