函数域

定义

若 ${\displaystyle X}$  是仿射整概形，${\displaystyle U\subset X}$  为开集，则定义 ${\displaystyle K_{X}(U)}$  为 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$  的分式域。此时 ${\displaystyle K_{X}}$  是 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(X)}$  的分式域的常数层。

若 ${\displaystyle X}$  是整概形，而非仿射概形，则任何非空仿射开集都稠密。对任何开集 ${\displaystyle U\subset X}$ ，可以一致地定义 ${\displaystyle K_{X}(U):=K_{V}(U\cap V)}$ ，其中 ${\displaystyle V}$  是任一非空仿射开集；这仍然是对应到一个域的常数层，该域称之为 ${\displaystyle X}$  的函数域。另一种等价定义是 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$  在一般点的茎。

函数域与维度

设 ${\displaystyle k}$  为域，${\displaystyle X}$  为不可约 ${\displaystyle k}$ -代数簇，则 ${\displaystyle K_{X}}$  是 ${\displaystyle k}$  的域扩张，有时也写作 ${\displaystyle k(X)}$ 。此扩张的超越次数等于 ${\displaystyle \dim X}$ ，此命题可以化约到仿射簇的情形，再以诺特正规化引理证明。

例子

• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  的函数域是 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 。

以下设 ${\displaystyle k}$  为域。

• 单点 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (k)}$  的函数域是 ${\displaystyle k}$  本身。
• 仿射直线 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{1}}$  与射影直线 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$  的函数域都是 ${\displaystyle k(t)}$ ，其中 ${\displaystyle t}$  是 ${\displaystyle k}$  上的超越元。
• 考虑平面曲线 ${\displaystyle y^{2}=x^{5}+1}$ ，其函数域是 ${\displaystyle k(x,y)}$ ，其中 ${\displaystyle x,y}$  是 ${\displaystyle k}$  上满足 ${\displaystyle y^{2}=x^{5}+1}$  的超越元；一般代数曲线的函数域可以依此类推。当 ${\displaystyle k}$  为有限域时，${\displaystyle k}$ -代数曲线的函数域与数域之间有深刻的类比。

当 ${\displaystyle X}$  不是整概形时，${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$  在开集上的截面可能有零因子，此时分式域并不存在（详见 Kleiman 的文章）。正解如下：

对任一开集 ${\displaystyle U\subset X}$ ，令 ${\displaystyle S_{U}}$  为 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$  中的非零因子集，这是一个积性集。命 ${\displaystyle K_{X}^{p}(U):=S_{U}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}(U)}$ （即 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$  的全分式环）。${\displaystyle K_{X}^{p}}$  构成 ${\displaystyle X}$  上的预层。令 ${\displaystyle K_{X}}$  为其层化，此即 ${\displaystyle X}$  的有理函数层，它是 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ -代数构成的层。

若 ${\displaystyle X}$  局部上可以分解成有限个整概形 ${\displaystyle X=\bigcup X_{i}}$ （这对局部诺特概形皆成立），则对任何开集 ${\displaystyle U}$  有

${\displaystyle K_{X}(U)=\bigoplus _{X_{i}\cap U\neq \emptyset }K_{X_{i}}}$ 

此时 ${\displaystyle K_{X}}$  是 ${\displaystyle X}$  上的拟凝聚层。

在复代数几何中，基本的对象是不可约复解析簇，其上能局部地开展复分析，由此可以定义复解析簇上的亚纯函数；亚纯函数域是该簇上的亚纯函数之集合。在不可约 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -代数簇上，有理函数必为亚纯函数，反之则不然（考虑 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$ ）；若加上紧致条件，则可证明此时亚纯函数域确等于有理函数域。

• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. （法语）.  引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Kleiman, S., "Misconceptions about K_X", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206