概形

概形(scheme)是代数几何学中的一个基本概念。概形是由亚历山大在他1960年的论文《代数几何基础》中提出的,其中一个目的是为了解决代数几何中的一些问题,例如威尔猜想英语Weil conjectures[1] 。建立在交换代数的基础之上,概形理论允许使用拓扑学同调代数中有系统的方法。概形理论也将许多代数几何和数论的问题统一,这也使得怀尔斯得以证明费马最后定理

定义

给定一个局部赋环空间 ,如果对 的一个开集  仿射概形,称 仿射开集

一个局部赋环空间 称为概形,如果 的每一点 都有仿射开邻域,即包含 的仿射开集。

直观上说,概形是由仿射概形粘起来得到的,正如流形是由欧几里得空间粘起来得到的。

两个概形之间的态射就是它们作为局部赋环空间的态射。

概形范畴

全体概形构成范畴,其态射取为局部赋环空间之间的态射(另见概形的态射英语morphism of schemes)。给定概形 ,所谓 之上的概形 (又称 -概形)即是概形间的态射 。交换环 上的概形 即是态射 

 上的代数簇可定义为 上的满足特定条件的概形,但对于具体何种概形可称为簇,有不同约定,其中一种定义为 之上有限型英语Morphism of finite type分离概形。[2]

态射 确定了正则函数环上的拉回同态 。对于仿射概形,此构造给出概形态射 与环同态 之间的一一对应。[3]此意义下,概形论包含了交换环论的全部内容。

由于 交换环范畴英语category of commutative rings始对象,概形范畴对应以 终对象。对于交换环 上的概形 ,所谓  值点即是态射 截面英语section (category theory),全体 值点的集合记作 ,其对应的古典概念是定义 的方程组在 中的解集。若 实为域 ,则 亦称为  -有理点英语rational point集。

推而广之,设有交换环 ,其上有概形 和交换代数 ,则  值点定义为 之上的态射 (该态射需要与射向 的态射组成交换图表), 值点的集合记作 。(类比到方程组的情况,相当于将某个域 扩张 ,再考虑 中的解集。)固定 及其上的概形 时,映射 为自交换 代数范畴至集合范畴的函子 上的概形 可从此点函子英语functor of points确定。[4]

概形的纤维积英语fiber product of schemes总存在:对任意两态射 ,皆可在概形范畴内找到纤维积 (即范畴学拉回)。若 为域 上的概形,则两者在 上的纤维积可以视为 -概形范畴中的积,例如仿射空间   上之积正是 

由于概形范畴既有纤维积,又有终对象 ,其有齐全部有限极限

历史

概形的概念是由亚历山大·格罗滕迪克在20世纪50年代引入的。一开始称为“预概形”(法语:préschéma,英语:prescheme),1967年左右改称现名。

概形的中文名称源自日文“概型”。

  • 仿射概形的开子集不一定仿射,因此需要考虑(非仿射的)一般概形。例如,设 (基域取复域 为例),则当 时, 不为仿射。(但对于 的情况,仿射直线挖去原点,同构于仿射概形 。)欲证 非仿射,可以证出当 时, 上的每个正则映射,皆可延拓至 上。(对正则映射较易证明;对解析函数,则是复分析的哈托格斯延拓定理英语Hartogs's extension theorem)。换言之,嵌入 导出自  的环同构。假若 仿射,将由此得出 本身亦为同构,但 不为满射,矛盾。因此,概形 不为仿射。[5]
  •  为域,则可数积 的谱 为仿射概形,底下的拓扑空间为正整数集(离散)的斯通-切赫紧化,因为质理想与正整数集上的超滤子一一对应:超滤子 对应质理想

     

    特别地,正整数 对应的主超滤子,对应的质理想是 [6]本例仿射概形为零维空间,故而每点自成一个既约分支英语irreducible component。由于仿射概形皆拟紧,本例是拟紧但具有无穷多个既约分支的概形。(诺特概形英语Noetherian scheme则与之相对,衹有有限多个既约分支。)

参考文献

  1. ^ Introduction of the first edition of "Éléments de géométrie algébrique".
  2. ^ Stacks Project, Tag 020D, [2022-11-01], (原始内容存档于2022-11-01) .
  3. ^ Hartshorne 1997,Proposition II.2.3.
  4. ^ Eisenbud & Harris 1998,Proposition VI-2.
  5. ^ Hartshorne 1997,Exercises I.3.6 and III.4.3.
  6. ^ Arapura 2011,section 1.

参见