斯通-切赫紧化

数学点集拓扑学中,斯通-切赫紧化(Stone–Čech compactification)是构造出从拓扑空间X紧致豪斯多夫空间βX的泛映射的技巧。拓扑空间X的斯通-切赫紧化βX是由X“生成”的最大的紧致豪斯多夫空间,意即任何从X到紧致豪斯多夫空间的映射,都可以经由βX分解。若X吉洪诺夫空间,则从X到其在βX中的像的映射是同胚,因此可以想像X是在βX中的稠密子空间。对一般拓扑空间,从X到βX的映射未必是单射

证明任何拓扑空间都有斯通-切赫紧化,需用到选择公理的一个形式。即使X是颇简单的空间,βX通常也是很难以明白具体地描述。譬如βN \ N非空的各种证明(N自然数集合),都不会直接描述出βN \ N内的任何一点。

泛性质和函子性

βX是一个紧致豪斯多夫空间,连同一个从X到βX的连续映射。βX有以下的泛性质:任何连续映射f: XK,其中K是紧致豪斯多夫空间,可以唯一地提升到连续映射 βf: βXK.

 

βX的这个泛性质,加上βX是包含X的紧致豪斯多夫空间,就完全地刻画了βX同胚的差别不计(up to homeomorphism)。

有些作者会加上假设X吉洪诺夫空间(或甚至是局部紧豪斯多夫空间),原因为:

  • X到在βX中的像的映射是同胚,当且仅当X是吉洪诺夫的。
  • X到在βX中的像的映射是同胚到一个子空间,当且仅当X是局部紧豪斯多夫的。

更一般的拓扑空间X上,都可以斯通-切赫紧化,但映射X → βX未必是同胚到X的像(有时甚至不是单射)。

上述的扩张性使β成为一个从Top(拓扑空间的范畴)到CHaus(紧豪斯多夫空间的范畴)的函子,设U是从 CHausTop包含函子,那么从βXK的映射(KCHaus内)一一对应到从XUK的映射(将映射限制到X,并使用βX的泛性质),即是

Hom(βX, K) = Hom(X, UK)

故β是U左伴随函子。因此CHausTop反射子范畴,反射函子为β。

构造

用单位区间构造

构造βX的一个方法是考虑映射

 
 

其中C是所有从X到[0, 1]的连续映射的集合。若赋予[0, 1]C积拓扑,那么这映射是连续的。因为[0,1]是紧致集,由吉洪诺夫定理(与选择公理等价)可知[0, 1]C也是紧致集。因此X在[0, 1]C中的像的闭包X的一个紧化。

这个紧化就是斯通-切赫紧化。要证明这个结果,只要检验这个紧化符合应有的泛性质。首先检验K = [0, 1],映射f: X → [0, 1]的扩张,就是从[0, 1]Cf座标上的投射。对一般的K,注意到K完全正则空间,所以能嵌入到一个立体(即形为[0, 1]I的积空间)中。现在用前述的结果扩张每个座标函数,然后取这些扩张的积。

用超滤子构造

X是离散空间,可以构造βXX的所有超滤子的集合,并赋予一个拓扑,称为斯通拓扑X的各元素对应到各主要超滤子。

要验证泛性质,设f: XKK是紧致豪斯多夫空间,FX上的一个超滤子。那么可得在K上的超滤子f(F)。因为K是紧致的,这个超滤子存在极限,又因为K是豪斯多夫的,故这个极限唯一,设为x。定义βf(F) = x。可以证明这是f的连续扩张。

参考

外部链接