伴随函子

设${\displaystyle F:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2},\;G:{\mathcal {C}}_{2}\to {\mathcal {C}}_{1}}$ 为函子，若存在双函子的同构

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(-),-)\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(-,G(-))}$ 

则称${\displaystyle F,G}$ 为一对伴随函子，${\displaystyle G}$ 称为${\displaystyle F}$ 的右伴随函子，而${\displaystyle F}$ 是${\displaystyle G}$ 的左伴随函子。

上述同构进一步给出两个同构

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F\circ G(-),-)\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(G(-),G(-))}$ 

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(-),F(-))\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(-,G\circ F(-))}$ 

分别在同构的左右两侧置${\displaystyle \mathrm {id} _{F(-)}}$ 与${\displaystyle \mathrm {id} _{G(-)}}$ ，遂得到函子间的态射（即自然变换）：

${\displaystyle \mathrm {id} _{{\mathcal {C}}_{1}}\to G\circ F\quad }$ （单位）

${\displaystyle F\circ G\to \mathrm {id} _{{\mathcal {C}}_{2}}\quad }$ （上单位）

定义中的双函子同构由单位与上单位唯一决定。

设${\displaystyle F,G}$ 是一对伴随函子，若${\displaystyle F}$ 为右正合则${\displaystyle G}$ 为左正合；此命题可由正合函子与极限的定义直接导出。

伴随函子在数学中处处可见，以下仅举出几个例子：

• 自由对象与遗忘函子是一对伴随函子，举群范畴为例，此时单位态射不外是集合${\displaystyle X}$ 到它生成的自由群${\displaystyle F(X)}$ 的包含映射。
• 积与对角函子。
• 设${\displaystyle R}$ 为环，${\displaystyle M}$ 为右${\displaystyle R}$ -模，则${\displaystyle M\otimes _{R}-:_{R}\mathbf {Mod} \to \mathbf {Ab} }$ 与${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(-,M):\mathbf {Ab} \to _{R}\mathbf {Mod} }$ 为一对伴随函子。当${\displaystyle R}$ 可交换时，上式的${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 可代为${\displaystyle R}$ ，${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ 可代为${\displaystyle _{R}\mathbf {Mod} }$ 。
• 层的正像与逆像。
• 群表示理论中的弗罗贝尼乌斯互反定理（详阅诱导表示）。

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. 编辑
  • Pierre Schapira, Categories and Homological Algebra