自由对象

范畴论为自由对象提供了普遍框架。考虑一种代数结构（如群、模等等）的范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 。其上具有一个遗忘函子${\displaystyle U:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$ ，此函子将一个对象映至其下的集合；换言之，此函子“遗忘”所有代数操作。

若${\displaystyle U}$ 有左伴随函子${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to {\mathcal {C}}}$ ，则称之为${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的自由函子。${\displaystyle F(X)}$ 可以设想为由集合${\displaystyle X}$ 生成的自由对象，此时也有映射${\displaystyle X\to F(X)}$ （在此滥用了符号：其实${\displaystyle F(X)}$ 是个代数结构，而${\displaystyle X}$ 却是集合），此映射可理解为从生成元到自由对象的包含映射。

对于更一般的遗忘函子，也能考虑相应的自由函子，例如从${\displaystyle k}$ -向量空间映至其张量代数的函子，便是从${\displaystyle k}$ -代数映至${\displaystyle k}$ -向量空间的遗忘函子之左伴随函子。在此意义下，张量代数有时也称为自由代数。

• 自由半群
• 自由幺半群
• 自由群
• 自由阿贝尔群
• 自由模
• 自由格
• 自由代数