自由群

在1882年，Walther Dyck 在发表于 Mathematische Annalen 的论文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念，但未加以命名。“自由群”一词由 Jakob Nielsen 于1924年引入。

• 整数的加法群 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$  是自由群；事实上我们可取 ${\displaystyle S:=\{1\}}$ 。
• 在巴拿赫-塔斯基悖论的论证中用到两个生成元的自由群，以下将予说明。
• 在代数拓扑学中，${\displaystyle k}$  个圆环的集束（即：${\displaystyle k}$  个只交于一点的圆环，见右图）的基本群是 ${\displaystyle k}$  个生成元的自由群。

今将构造集合 ${\displaystyle S}$  上之自由群 ${\displaystyle F(S)}$ ，分解动作如下。

1. 对任何 ${\displaystyle s\in S}$ ，引入符号 ${\displaystyle s^{-1}}$ ，称作 ${\displaystyle s}$  的逆元。
2. 考虑所有由符号 ${\displaystyle s,s^{-1}\;(s\in S)}$  构成的有限字串。
3. 如果一个字串能透过将 ${\displaystyle ss^{-1}}$  或 ${\displaystyle s^{-1}s}$  替换为空字串而变为另一个字串，则称这两个字串等价；此关系在所有上述字串构成的集合上生成一等价关系，其商集（等价类构成的集合）记作 ${\displaystyle F(S)}$ 。
4. 我们可以借着对字串长度作数学归纳法，证明此等价关系相容于字串的接合，即：${\displaystyle x\sim y,x'\sim y'\Rightarrow xx'\sim yy'}$ 。故字串接合在 ${\displaystyle F(S)}$  导出二元运算，并满足交换律。
5. 取 ${\displaystyle F(S)}$  及字串接合运算构成一个群，字串 ${\displaystyle s_{1}^{\pm 1}\cdots s_{n}^{\pm 1}}$  之逆为 ${\displaystyle s_{n}^{\mp 1}\cdots s_{1}^{\mp 1}}$ 。此即所求。

若 ${\displaystyle S}$  为空集，则 ${\displaystyle F(S)}$  为平凡群。

上述构造 ${\displaystyle F(S)}$  带有一个自然的集合映射 ${\displaystyle \phi :S\rightarrow F(S)}$ 。这对资料 ${\displaystyle (F(S),\phi )}$  满足以下泛性质：

若 ${\displaystyle G}$  为群，${\displaystyle \psi :S\rightarrow G}$  为集合间的映射，则存在唯一的群同态 ${\displaystyle f:F(S)\rightarrow G}$  使得 ${\displaystyle f\circ \phi =\psi }$ 。

事实上我们仅须，也必须设 ${\displaystyle f(s_{1}^{\pm 1}\cdots s_{n}^{\pm 1}):=\psi (s_{1})^{\pm 1}\cdots \psi (p_{n})^{\pm 1}}$  ；前述构造确保此式给出一个明确定义的群同态。

任两个满足上述泛性质的资料 ${\displaystyle (F_{1},\phi _{1})}$ 、${\displaystyle (F_{2},\phi _{2})}$  至多差一个同构，因而刻划了自由群的群论性质。这种泛性质是泛代数中考虑的自由对象的特例，用范畴论的语言来说，函子 ${\displaystyle F(-):S\mapsto F(S)}$  是遗忘函子的左伴随函子。

• 任何群 ${\displaystyle G}$  皆可表为某个自由群的同态像；在上述泛性质中取 ${\displaystyle S}$  为 ${\displaystyle G}$  的一组生成集，ψ 为包含映射即可。此时 ${\displaystyle F(S)\rightarrow G}$  的核 ${\displaystyle R}$  称作关系，${\displaystyle F(S),K}$  称作 ${\displaystyle G}$  的一个展示；若 ${\displaystyle S}$  有限，则称之为有限展示。一个群可以有多种展示，而且不存在判断两个展示给出的群是否同构的算法。
• 如果 ${\displaystyle S}$  有超过一个元素，则 ${\displaystyle F(S)}$  非交换；事实上 ${\displaystyle F(S)}$  的中心只有单位元。
• 任两个自由群 ${\displaystyle F(S),F(T)}$  同构的充要条件是 ${\displaystyle S,T}$  基数相同，此基数称作自由群的阶。

以下是一些相关定理：

• Jakob Nielsen 与 Otto Schreirer 的定理：自由群的子群也是自由群。若 ${\displaystyle G}$  为 ${\displaystyle n}$  阶，${\displaystyle (G:H)=k}$ ，则 ${\displaystyle H}$  为 ${\displaystyle 1-n+nk}$  阶（在此设 ${\displaystyle n,k}$  有限）。
• 设 ${\displaystyle F}$  为超过一阶的自由群；则对任意可数基数 ${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle F}$  中都存在 ${\displaystyle n}$  阶的自由子群。

自由群虽然看似是离散的对象，却可藉微分几何或拓扑学工具研究，上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例（可运用同伦上纤维的构造证明）；这套技术属于几何群论的一支。

将上述泛性质中的“群”替换成“阿贝尔群”，遂得到自由阿贝尔群的泛性质。集合 ${\displaystyle S}$  上的自由阿贝尔群可视为自由 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模来构造，或取作 ${\displaystyle F(S)}$  的“交换化”： ${\displaystyle F(S)/[F(S),F(S)]}$ （换言之，在考虑字串时不计符号顺序）。

塔斯基在1945年左右提出下述问题：

两个以上生成元的自由群是否有相同的一阶理论？此理论是否可判定？

目前已有两个团队独立给出肯定的答案，但双方的证明都尚未被认可。请参见网址 [1] 的“O8”。

• Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei, Elementary theory of free non-abelian groups, J. Algebra, 2006, 302 (2): 451–552, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033, 数学评论2293770 
• W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).

• Sela, Z., Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group., Geom. Funct. Anal. 16, 2006, (3): 707–730, 数学评论2238945 
• J.-P. Serre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL₂", 3rd edition, astérisque 46 (1983))