张量代数

设${\displaystyle V}$ 是域${\displaystyle K}$ 上一个向量空间。对任何非负整数${\displaystyle k}$ ，我们定以${\displaystyle V}$ 的${\displaystyle k}$ 次张量积为${\displaystyle V}$ 与自己的${\displaystyle k}$ 次张量积：

${\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}={\underset {k}{\underbrace {V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} }}}$ 。

这便是讲，${\displaystyle T^{k}V}$ 由${\displaystyle V}$ 上所有秩${\displaystyle k}$ 张量组成。习惯上${\displaystyle T^{0}V}$ 是基域${\displaystyle K}$ （作为自己的一维向量空间）。

令${\displaystyle T(V)}$ 为所有${\displaystyle T^{k}V}$ （${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$ ）的直和：

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots }$ 。

${\displaystyle T(V)}$ 中的乘法由典范同构确定：

${\displaystyle T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V}$ 

由张量积给出，然后线性扩张到所有${\displaystyle T(V)}$ 。此乘法表明张量代数${\displaystyle T(V)}$ 自然是一个分次代数，${\displaystyle T^{k}V}$ 作为${\displaystyle k}$ 次子空间。

此构造可径直推广到任意交换环上的模${\displaystyle M}$ 上。如果${\displaystyle R}$ 是一个非交换环，我们仍然可以对任意${\displaystyle R}$ -${\displaystyle R}$  双模执行这样的构造。（对通常的${\displaystyle R}$ -模不行，因为没有迭代张量积。）

张量代数${\displaystyle T(V)}$ 也成为向量空间${\displaystyle V}$ 上的自由代数，并具有函子性。像其它自由构造一样，函子${\displaystyle T}$ 左伴随于某个遗忘函子，该函子将每个${\displaystyle K}$ -代数送到它的底向量空间。

准确地说，张量代数满足如下的泛性质，正式地表明它是包含${\displaystyle V}$ 的最一般的代数：

任何从${\displaystyle V}$ 到${\displaystyle K}$ 上的一个代数${\displaystyle A}$ 的线性变换${\displaystyle f:V\rightarrow A}$ 可以惟一地扩张为从${\displaystyle T(V)}$ 到${\displaystyle A}$ 的一个代数同态，如下交换图表所示：

这里${\displaystyle i}$ 是${\displaystyle V}$ 到${\displaystyle T(V)}$ 的典范包含（伴随的单位）。事实上可以定义张量代数${\displaystyle T(V)}$ 为满足这个性质惟一的代数（确切地说，在惟一的一个同构意义下），但仍然要证明满足这个性质的对象存在。

如上泛性质说明张量代数的构造有自然的函子性。就是讲，${\displaystyle T}$ 是从${\displaystyle K}$ -Vect，${\displaystyle K}$ 上向量空间范畴，到${\displaystyle K}$ -Alg，${\displaystyle K}$ -代数范畴，的一个函子。${\displaystyle T}$ 的函子性意味着任何从V到W的线性映射惟一地扩张为从${\displaystyle T(V)}$ 到${\displaystyle T(W)}$ 的代数同态。

如果${\displaystyle V}$ 为有限维${\displaystyle n}$ ，张量代数的另一个看法是“ ${\displaystyle K}$ 上${\displaystyle n}$ 个非交换变量的多项式代数”。如果我们取${\displaystyle V}$ 的基向量，它们成为${\displaystyle T(V)}$ 中的非交换变量（或不定元），彼此间没有任何约束（除了结合律，分配律以及K-线性）。

注意${\displaystyle V}$ 上的多项式代数不是${\displaystyle T(V)}$ ，而是${\displaystyle T(V^{*})}$ ：${\displaystyle V}$ 上一个（齐次）线性函数是${\displaystyle V^{*}}$ 中的一个元素。

因为张量代数的一般性，许多其它有趣的代数可以由张量代数开始构造，然后在生成元上施以一定的关系，即构造${\displaystyle T(V)}$ 一定的商代数。这样的例子譬如外代数、对称代数、克利福德代数以及泛包络代数。

张量代数上的余代数结构如下。余积${\displaystyle \Delta }$ 定义为

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{m}):=\sum _{i=0}^{m}(v_{1}\otimes \dots \otimes v_{i})\otimes (v_{i+1}\otimes \dots \otimes v_{m})}$ 

线性扩张到整个${\displaystyle TV}$ 。余单位由${\displaystyle \varepsilon (v)=v}$ 的0-次分量。注意到${\displaystyle \Delta :TV\rightarrow TV\otimes TV}$ 保持分次：

${\displaystyle T^{m}V\to \bigoplus _{i+j=m}T^{i}V\otimes T^{j}V}$ 

而${\displaystyle \varepsilon }$ 也与分次相容。

张量代数在这个余积下不是双代数。但下述更复杂的余积确实得到一个余代数：

${\displaystyle \Delta (x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=\sum _{p=0}^{m}\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{p,m-p}}\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\otimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)}$ 

这里求和取遍所有(p,m-p)-牌序。最后，对极映射为：

${\displaystyle S(x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=(-1)^{m}x_{m}\otimes \dots \otimes x_{1}}$ 

线性扩张到整个${\displaystyle TV}$ ，这样张量代数成为一个霍普夫代数。

• 对称代数（英语：Symmetric algebra）
• 幺半范畴
• Stanisław Lem's Love and Tensor Algebra

• 陈维桓. 微分流形初步 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2001年8月. 
• Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998