代数同态

令A=K[x]为在一个体K上的所有多项式所组成的集合，且B为一个在K上所有多项式函数所组成的集合，则A跟B两个都会是在K上分别由标准的多项式和函数的乘法及加法所构成的代数。可以将每个在A内的${\displaystyle f\,}$ 以${\displaystyle {\hat {f}}(t)=f(t)\,}$ 的方式映射至于B内的${\displaystyle {\hat {f}}\,}$ 。很简单便可以知道这个映射${\displaystyle f\rightarrow {\hat {f}}\,}$ 会是一个A和B两个代数之间的同态。若K是一个有限体的话，则可令

${\displaystyle p(x)=\Pi _{t\in K}(x-t).\,}$ 

其中p是一个在K[x]内的非零多项式。但对所有在K内的t，${\displaystyle p(t)=0\,}$ ，所以其映射${\displaystyle {\hat {p}}=0\,}$ 都会是一个零值函数，这两个代数因此不会是同构的。

若K是无限的，则令${\displaystyle {\hat {f}}=0\,}$ 。接下来要证明这会使得${\displaystyle f=0\,}$ 。设${\displaystyle deg(f)=n\,}$ 和${\displaystyle t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}\,}$ 为K内n+1个不同的元素，则对${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ 都会有${\displaystyle f(t_{i})=0\,}$ 。再利用拉格朗日插值便能得到${\displaystyle f=0\,}$ 。因此映射${\displaystyle f\rightarrow {\hat {f}}\,}$ 是单射的，故而有一个在A和B之间的同构。