自由模

一个自由 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$  是 ${\displaystyle R}$ -模范畴中的自由对象。具体言之，即存在一族元素 ${\displaystyle \{m_{i}\}_{i\in I}}$ （可能有无限多个）使得：

• 任何 ${\displaystyle m\in M}$  都可表成它们的线性组合 ${\displaystyle m=\sum _{i\in I}r_{i}m_{i}}$ ，其中只有有限个 ${\displaystyle r_{i}}$  非零。
• 若 ${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}m_{i}=\sum _{i\in I}r_{i}'m_{i}}$ ，则 ${\displaystyle \forall i,\;r_{i}=r_{i}'}$ 。

等价说法是：${\displaystyle M\simeq R^{I}}$ 。此时 ${\displaystyle \{m_{i}\}_{i\in I}}$  称作 ${\displaystyle M}$  的一组基底。

• ${\displaystyle M}$  的秩可定义为 ${\displaystyle I}$  的基数，与基底选取无关。
• 自由模皆是射影模，也是平坦模。
• 若接受选择公理，则任何除环上的模都是自由模，例如域上的向量空间。